ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 6.15

6.15. Развивай воображение. Начертите два перпендикулярных отрезка так, чтобы они:

а) пересекались;
б) не пересекались.

Выполните это задание для лучей. Могут ли два отрезка (луча) на плоскости располагаться по–другому?

6.15

а)

б)

Да, отрезки и лучи могут располагаться по – другому.

а) пересекались;

Два отрезка называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. Перпендикулярные прямые — это прямые, которые пересекаются под прямым углом ($90^\circ$). Чтобы два перпендикулярных отрезка пересекались, они должны иметь одну общую точку.

Для построения можно выполнить следующие шаги:

1. Начертите произвольный отрезок, назовем его $AB$.
2. Выберите любую точку $O$, которая является внутренней точкой отрезка $AB$ (то есть лежит между $A$ и $B$).
3. Через точку $O$ проведите прямую, перпендикулярную отрезку $AB$.
4. На этой перпендикулярной прямой отметьте отрезок $CD$ так, чтобы точка $O$ была его внутренней точкой.

В результате отрезки $AB$ и $CD$ будут перпендикулярны ($AB \perp CD$) и будут пересекаться в точке $O$. Визуально это может напоминать знак «плюс» (+).

Ответ: Да, два перпендикулярных отрезка могут пересекаться. Для этого необходимо, чтобы точка пересечения содержащих их прямых принадлежала обоим отрезкам.

б) не пересекались.

Чтобы два перпендикулярных отрезка не пересекались, они по-прежнему должны лежать на перпендикулярных прямых, но при этом не иметь общих точек.

Для построения можно выполнить следующие шаги:

1. Начертите две перпендикулярные прямые $m$ и $n$, которые пересекаются в точке $P$.
2. На прямой $m$ выберите отрезок $AB$ так, чтобы точка $P$ не принадлежала этому отрезку.
3. На прямой $n$ выберите любой отрезок $CD$.

Поскольку отрезки $AB$ и $CD$ лежат на перпендикулярных прямых, они являются перпендикулярными. Но так как они построены таким образом, что не имеют общих точек, они не пересекаются. Например, можно начертить вертикальный отрезок и горизонтальный отрезок, который находится полностью сбоку от вертикального и не касается его.

Ответ: Да, два перпендикулярных отрезка могут не пересекаться. Это возможно, если они лежат на перпендикулярных прямых, но не имеют общих точек.

Выполните это задание для лучей.

Рассуждения для лучей полностью аналогичны. Два луча называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых.

• Пересекающиеся перпендикулярные лучи: Можно начертить два луча, выходящие из одной общей начальной точки в перпендикулярных направлениях (например, один луч направлен вправо, а другой — вверх). Они пересекаются в этой точке. Также возможно, чтобы один луч пересекал другой в точке, которая не является начальной ни для одного из них.
• Непересекающиеся перпендикулярные лучи: Можно начертить два луча на перпендикулярных прямых так, чтобы они не имели общих точек. Например, один луч начинается в точке с координатами $(0, 0)$ и идет вправо по оси $Ox$, а второй начинается в точке $(1, 1)$ и идет вверх параллельно оси $Oy$. Лучи никогда не пересекутся.

Ответ: Да, два перпендикулярных луча могут как пересекаться, так и не пересекаться.

Могут ли два отрезка (луча) на плоскости располагаться по-другому?

Да, кроме рассмотренных случаев перпендикулярного расположения, существуют и другие варианты взаимного расположения двух отрезков (или лучей) на плоскости. Основные случаи:

• Пересекаются не под прямым углом: Отрезки (или лучи) имеют одну общую точку, но угол между прямыми, на которых они лежат, отличен от $90^\circ$.
• Параллельны: Отрезки (или лучи) лежат на параллельных прямых. В этом случае у них нет общих точек.
• Лежат на одной прямой (коллинеарны): Отрезки (или лучи) расположены на одной и той же прямой. Здесь возможны несколько вариантов:
  • Они не имеют общих точек (между ними есть зазор).
  • Они имеют одну общую точку (касаются концами).
  • Они пересекаются по отрезку (частично накладываются друг на друга).
  • Один отрезок (луч) полностью является частью другого.

Ответ: Да, два отрезка (или луча) на плоскости могут также быть параллельными, пересекаться под произвольным углом (отличным от $90^\circ$) или лежать на одной прямой.