ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 4.79

4.79. Сколько краски потребуется для покраски конуса, если радиус его основания 2 см, развёртка боковой поверхности – сектор с прямым углом, а радиус сектора равен 15 см? Расход краски на 1 см² равен 2 г.

4.79

r = 2 см; r _{сектора} = 12 см; π ≈ 3,14; S = πr²; на 1 см² = 2 г.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathrm{S} = 3,14 · 2^2 = 3,14 · 4 = 12,56 ({\mathrm{см}}^2)$ – площадь основания конуса;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ } {\mathrm{S}}_1 = \frac{3,14 · {15}^2 }{4} = \frac{3,14 · 225 }{4} = \frac{706,5}{4} = 176,625 ({\mathrm{см}}^2 )$ – площадь боковой поверхности конуса;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 12,56 + 176,625 = 189,185 ({\mathrm{см}}^2)$ – площадь поверхности конуса;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 189,635 · 2 = 378,37 (\mathrm{г})$ – краски потребуется

Ответ: 378,37 г краски.

Для решения задачи необходимо найти полную площадь поверхности конуса, которую нужно покрасить, и умножить ее на расход краски. Полная площадь поверхности конуса $S_{полн}$ складывается из площади его основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

1. Найдем площадь основания конуса.

Основание конуса — это круг. Радиус основания по условию равен $r = 2$ см. Площадь круга вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi r^2$

Подставим значение радиуса:

$S_{осн} = \pi \cdot (2 \text{ см})^2 = 4\pi$ см$^2$.

2. Найдем площадь боковой поверхности конуса.

По условию, развёртка боковой поверхности представляет собой сектор круга с радиусом $R = 15$ см и центральным углом $\alpha = 90^\circ$. Радиус этого сектора является образующей конуса ($l = R = 15$ см). Площадь боковой поверхности конуса равна площади этого сектора.

Площадь сектора вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi R^2$

Подставим известные значения:

$S_{бок} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot (15 \text{ см})^2 = \frac{1}{4} \cdot 225\pi \text{ см}^2 = 56.25\pi$ см$^2$.

Замечание: Условия задачи противоречивы. Для того чтобы из сектора можно было свернуть конус с заданным радиусом основания, длина дуги сектора должна быть равна длине окружности основания конуса. Длина окружности основания: $C = 2\pi r = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$ см. Длина дуги сектора: $L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R = \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 15 = \frac{1}{4} \cdot 30\pi = 7.5\pi$ см. Так как $4\pi \neq 7.5\pi$, конус с такими параметрами не существует. Однако, для решения задачи мы исходим из того, что нужно покрасить две отдельные поверхности: основание с радиусом 2 см и боковую поверхность, заданную сектором.

3. Найдем полную площадь поверхности конуса.

Суммируем площадь основания и площадь боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 4\pi \text{ см}^2 + 56.25\pi \text{ см}^2 = 60.25\pi$ см$^2$.

4. Рассчитаем необходимое количество краски.

Расход краски составляет 2 г на 1 см$^2$. Чтобы найти общую массу краски, умножим полную площадь поверхности на расход:

Масса краски = $S_{полн} \cdot 2 \frac{\text{г}}{\text{см}^2} = 60.25\pi \text{ см}^2 \cdot 2 \frac{\text{г}}{\text{см}^2} = 120.5\pi$ г.

Ответ: $120.5\pi$ г.