ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 3.156

3.156. Изобразите рисунок 3.42 в тетради. Постройте треугольник, симметричный треугольнику АВС:

а) относительно прямой n;

б) относительно вершины А.

3.156

а) симметрия относительно прямой n

б) симметрия относительно вершины А

Для решения задачи введем декартову систему координат. Примем левый нижний угол сетки за начало координат $(0, 0)$, а сторону одной клетки за единицу масштаба. В этой системе координат вершины треугольника $ABC$ имеют следующие координаты:

• $A(1, 3)$
• $B(3, 6)$
• $C(5, 2)$

Прямая $n$ проходит через точки с координатами $(2, 8)$ и $(8, 2)$.

а) относительно прямой n

Чтобы построить треугольник $A'B'C'$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $n$ (осевая симметрия), необходимо для каждой вершины исходного треугольника найти симметричную ей точку. Точка $P'$ является симметричной точке $P$ относительно прямой $n$, если прямая $n$ перпендикулярна отрезку $PP'$ и проходит через его середину.

На клетчатой бумаге построение удобно выполнять, используя свойства прямой $n$. Эта прямая имеет угловой коэффициент $-1$ (при сдвиге на одну клетку вправо она смещается на одну клетку вниз). Прямая, перпендикулярная ей, будет иметь угловой коэффициент $1$ и будет проходить по диагоналям клеток.

1. Построение точки $A'$ (симметричной A): Из точки $A(1, 3)$ проведем перпендикуляр к прямой $n$. Для этого двигаемся по диагонали клеток (вверх и вправо) до пересечения с прямой $n$. Точка пересечения $M_A$ имеет координаты $(4, 6)$. Расстояние от $A$ до $M_A$ соответствует смещению на $3$ клетки вправо и $3$ клетки вверх. Чтобы найти $A'$, откладываем такое же смещение от точки $M_A$: $A' = (4+3, 6+3) = (7, 9)$.
2. Построение точки $B'$ (симметричной B): Из точки $B(3, 6)$ проводим перпендикуляр к прямой $n$. Точка их пересечения $M_B$ — это середина отрезка $BB'$, она имеет координаты $(3.5, 6.5)$. Это смещение на $0.5$ клетки вправо и $0.5$ клетки вверх от точки $B$. Откладываем такое же смещение от $M_B$ и получаем точку $B' = (3.5+0.5, 6.5+0.5) = (4, 7)$.
3. Построение точки $C'$ (симметричной C): Из точки $C(5, 2)$ проводим перпендикуляр к прямой $n$. Точка их пересечения $M_C$ имеет координаты $(6.5, 3.5)$. Это смещение на $1.5$ клетки вправо и $1.5$ клетки вверх от точки $C$. Откладываем такое же смещение от $M_C$ и получаем точку $C' = (6.5+1.5, 3.5+1.5) = (8, 5)$.

Соединив полученные точки $A'(7, 9)$, $B'(4, 7)$ и $C'(8, 5)$, получим искомый треугольник $A'B'C'$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $n$.

Ответ: Вершины симметричного треугольника имеют координаты $A'(7, 9)$, $B'(4, 7)$, $C'(8, 5)$.

б) относительно вершины A

Чтобы построить треугольник $A''B''C''$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно точки $A$ (центральная симметрия), необходимо для каждой вершины исходного треугольника найти точку, симметричную ей относительно центра $A$. Точка $P''$ является симметричной точке $P$ относительно центра $A$, если точка $A$ является серединой отрезка $PP''$.

1. Построение точки $A''$: Точка, симметричная центру симметрии, совпадает с ним самим. Следовательно, $A'' = A(1, 3)$.
2. Построение точки $B''$: Точка $A$ — середина отрезка $BB''$. Чтобы перейти из точки $B(3, 6)$ в точку $A(1, 3)$, нужно сместиться на $2$ клетки влево и на $3$ клетки вниз. Чтобы найти $B''$, нужно выполнить такое же смещение из точки $A$: $B'' = (1-2, 3-3) = (-1, 0)$.
3. Построение точки $C''$: Точка $A$ — середина отрезка $CC''$. Чтобы перейти из точки $C(5, 2)$ в точку $A(1, 3)$, нужно сместиться на $4$ клетки влево и на $1$ клетку вверх. Для нахождения $C''$ выполним такое же смещение из точки $A$: $C'' = (1-4, 3+1) = (-3, 4)$.

Соединив точки $A''(1, 3)$, $B''(-1, 0)$ и $C''(-3, 4)$, получим искомый треугольник $A''B''C''$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно вершины $A$.

Ответ: Вершины симметричного треугольника имеют координаты $A''(1, 3)$, $B''(-1, 0)$, $C''(-3, 4)$.