ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 3.157

3.157. Начертите треугольник MNT. Постройте треугольник, симметричный треугольнику MNT:

а) относительно прямой MN; б) относительно вершины N.

3.157

а) относительно прямой MN

б) относительно вершины N

Для решения задачи сначала начертим произвольный треугольник $MNT$.

Симметрия относительно прямой называется осевой симметрией. Чтобы построить треугольник, симметричный данному, необходимо построить точки, симметричные каждой его вершине относительно заданной прямой $MN$. Обозначим искомый треугольник как $M'N'T'$.

1. По определению осевой симметрии, если точка лежит на оси симметрии, то она симметрична самой себе. Вершины $M$ и $N$ лежат на прямой $MN$, которая является осью симметрии. Следовательно, их образы совпадают с ними самими: $M' = M$ и $N' = N$.

2. Для построения точки $T'$, симметричной вершине $T$, проведем через точку $T$ прямую, перпендикулярную прямой $MN$. Обозначим точку их пересечения буквой $H$.

3. На этой перпендикулярной прямой отложим от точки $H$ отрезок $HT'$ в полуплоскости, не содержащей точку $T$, так, чтобы длина отрезка $HT'$ была равна длине отрезка $TH$. Таким образом, $TH = HT'$ и $TH \perp MN$. Точка $T'$ является симметричным образом точки $T$.

4. Соединим полученные вершины $M'$, $N'$ и $T'$. Треугольник $MNT'$ является искомым треугольником, симметричным треугольнику $MNT$ относительно прямой $MN$.

Ответ: Требуется построить точку $T'$, симметричную точке $T$ относительно прямой $MN$. Для этого нужно опустить перпендикуляр $TH$ из точки $T$ на прямую $MN$ и на его продолжении отложить отрезок $HT' = TH$. Искомый треугольник — это $MNT'$.

Симметрия относительно точки называется центральной симметрией. Чтобы построить треугольник, симметричный данному, необходимо построить точки, симметричные каждой его вершине относительно заданной точки $N$. Обозначим искомый треугольник как $M''N''T''$.

1. По определению центральной симметрии, центр симметрии симметричен сам себе. Вершина $N$ является центром симметрии, следовательно, ее образ совпадает с ней самой: $N'' = N$.

2. Для построения точки $M''$, симметричной вершине $M$ относительно точки $N$, проведем луч $MN$. На продолжении этого луча за точку $N$ отложим отрезок $NM''$, длина которого равна длине отрезка $MN$. Точка $N$ будет являться серединой отрезка $MM''$.

3. Аналогично для построения точки $T''$, симметричной вершине $T$ относительно точки $N$, проведем луч $TN$. На продолжении этого луча за точку $N$ отложим отрезок $NT''$, длина которого равна длине отрезка $TN$. Точка $N$ будет являться серединой отрезка $TT''$.

4. Соединим полученные вершины $M''$, $N''$ и $T''$. Треугольник $M''NT''$ является искомым треугольником, симметричным треугольнику $MNT$ относительно вершины $N$.

Ответ: Требуется построить точки $M''$ и $T''$, симметричные точкам $M$ и $T$ относительно точки $N$. Для этого нужно продлить отрезки $MN$ и $TN$ за точку $N$ на их длину, получив точки $M''$ и $T''$ соответственно ($MN=NM''$, $TN=NT''$). Искомый треугольник — это $M''NT''$.