ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 3.135

3.135. а) Начертите окружность с центром Р и прямую k, не пересекающую эту окружность. Постройте окружность с центром О, симметричную этой окружности относительно оси k.

б) Постройте фигуру симметричную относительно точки С для четырёхугольника ABCD на рисунке 3.31.

3.135

а)

б)

a)

Чтобы построить окружность с центром $O$, симметричную данной окружности с центром $P$ относительно оси $k$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертим произвольную окружность с центром в точке $P$ и радиусом $r$.
2. Начертим прямую $k$ так, чтобы она не пересекала и не касалась этой окружности.
3. Построим точку $O$, которая будет центром новой окружности. Точка $O$ должна быть симметрична точке $P$ относительно прямой $k$. Для этого:
   • Из точки $P$ опускаем перпендикуляр на прямую $k$. Обозначим точку их пересечения как $H$.
   • На луче $PH$ откладываем за точкой $H$ отрезок $HO$, длина которого равна длине отрезка $PH$. Таким образом, $PH = HO$ и $PO \perp k$. Точка $O$ является симметричной точке $P$ относительно прямой $k$.
4. Фигура, симметричная окружности, является окружностью с тем же радиусом. Поэтому строим новую окружность с центром в найденной точке $O$ и радиусом $r$ (тем же, что и у исходной окружности).

Полученная окружность с центром $O$ и радиусом $r$ и будет искомой окружностью, симметричной данной относительно оси $k$.

Ответ: Для построения симметричной окружности нужно построить точку $O$, симметричную центру исходной окружности $P$ относительно оси $k$, и начертить новую окружность с центром $O$ и тем же радиусом, что и у исходной.

б)

Для построения фигуры, симметричной четырехугольнику $ABCD$ относительно точки $C$ (центральная симметрия), необходимо построить точки $A'$, $B'$, $C'$, $D'$, симметричные каждой из вершин $A, B, C, D$ соответственно относительно центра $C$.

Правило центральной симметрии: точка $X'$ симметрична точке $X$ относительно центра $S$, если точка $S$ является серединой отрезка $XX'$.

1. Построение точки $A'$, симметричной точке $A$ относительно $C$. Соединяем точки $A$ и $C$ отрезком и продолжаем его за точку $C$ на такое же расстояние. На клетчатой бумаге это можно сделать, посчитав смещение по осям: чтобы попасть из $A$ в $C$, нужно сдвинуться на 6 клеток вправо и 1 клетку вниз. Чтобы найти $A'$, нужно выполнить такой же сдвиг из точки $C$.
2. Построение точки $B'$, симметричной точке $B$ относительно $C$. Соединяем точки $B$ и $C$ отрезком и продолжаем его за точку $C$ на такое же расстояние. Смещение от $B$ к $C$: 2 клетки вправо и 1 клетка вверх. Применяем этот же сдвиг от точки $C$, чтобы найти $B'$.
3. Построение точки $D'$, симметричной точке $D$ относительно $C$. Соединяем точки $D$ и $C$ отрезком и продолжаем его за точку $C$ на такое же расстояние. Смещение от $D$ к $C$: 3 клетки вправо и 3 клетки вниз. Применяем этот же сдвиг от точки $C$, чтобы найти $D'$.
4. Построение точки $C'$, симметричной точке $C$ относительно $C$. Точка, симметричная центру симметрии, совпадает с самим центром. Таким образом, $C' = C$.
5. Соединяем полученные точки $A'$, $B'$, $C'$ и $D'$ в том же порядке, чтобы получить искомый четырехугольник $A'B'C'D'$. Так как $C' = C$, то это будет четырехугольник $A'B'CD'$.

Ответ: Искомая фигура — это четырехугольник $A'B'CD'$, построенный путем нахождения вершин $A'$, $B'$, $D'$, симметричных вершинам $A$, $B$, $D$ исходного четырехугольника относительно точки $C$. Вершина $C$ при этом отображается сама на себя.