ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 3.134

3.134. Убедитесь, используя линейку, что точка А, лежащая на оси симметрии m, одинаково удалена от симметричных относительно прямой m точек М и N (рис. 3.33).

3.134

АМ = AN

точка А равноудалена от точек М и N

Чтобы убедиться, что точка А, находящаяся на оси симметрии m, равноудалена от точек M и N, симметричных относительно этой оси, мы можем воспользоваться геометрическим доказательством. Условие "используя линейку" — это предложение выполнить практическую проверку теоретического вывода.

По определению осевой симметрии, прямая m является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему симметричные точки M и N. Это означает, что прямая m пересекает отрезок MN в его середине и перпендикулярна ему. Обозначим точку пересечения прямой m и отрезка MN буквой O.

Из этого определения следуют два факта:
1. Отрезок $MO$ равен отрезку $NO$ ($MO = NO$), так как O — середина MN.
2. Угол $\angle AOM$ и угол $\angle AON$ — прямые, то есть $\angle AOM = \angle AON = 90^\circ$, так как $m \perp MN$.

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle AOM$ и $\triangle AON$.
- У них есть общая сторона (катет) $AO$.
- Их катеты $MO$ и $NO$ равны, как было показано выше.
Следовательно, треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle AON$ равны по двум катетам (что является частным случаем первого признака равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними).

Так как треугольники равны ($\triangle AOM \cong \triangle AON$), то равны и их соответствующие стороны. Гипотенуза $AM$ треугольника $\triangle AOM$ равна гипотенузе $AN$ треугольника $\triangle AON$. Таким образом, мы доказали, что $AM = AN$.

Измерив расстояния $AM$ и $AN$ с помощью линейки, мы бы получили одинаковые значения, что и подтвердило бы наш вывод на практике.

Ответ: Точка А одинаково удалена от точек М и N. Это доказывается равенством прямоугольных треугольников $\triangle AOM$ и $\triangle AON$ (где O — точка пересечения MN и m) по двум катетам: $AO$ — общий катет, а катеты $MO$ и $NO$ равны по определению осевой симметрии. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AM = AN$.