ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 2.74

2.74. Разложение одного числа состоит из двух простых множителей, а другого — из трёх простых множителей. Могут ли эти числа быть равными?

2.74

Не могут, разложение числа на простые множители различается только порядком множителей, а не их количеством.

Для ответа на этот вопрос необходимо обратиться к основной теореме арифметики.

Основная теорема арифметики гласит, что любое натуральное число больше 1 может быть представлено в виде произведения простых множителей, и такое представление единственно с точностью до порядка этих множителей. Это означает, что для каждого числа существует свой уникальный набор простых множителей, и количество этих множителей (с учётом повторений) также является уникальным.

Пусть первое число — это $N_1$. Согласно условию, его разложение состоит из двух простых множителей, назовём их $p_1$ и $p_2$. Таким образом, $N_1 = p_1 \cdot p_2$. Например, $14 = 2 \cdot 7$ или $25 = 5 \cdot 5$.

Пусть второе число — это $N_2$. Его разложение состоит из трёх простых множителей, назовём их $q_1, q_2$ и $q_3$. Таким образом, $N_2 = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3$. Например, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ или $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$.

Предположим, что эти числа могут быть равными, то есть $N_1 = N_2$. В этом случае мы получили бы, что одно и то же число имеет два разных разложения на простые множители: одно с двумя множителями, а другое — с тремя.

$p_1 \cdot p_2 = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3$

Это невозможно, так как противоречит основной теореме арифметики о единственности разложения на простые множители. Количество множителей в разложении является уникальной характеристикой числа. Следовательно, число, имеющее в своём разложении два простых множителя, не может быть равно числу, имеющему в разложении три простых множителя.

Ответ: Нет, эти числа не могут быть равными.