ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 2.63

2.63. Найдите наибольший общий делитель чисел:

а) 45, 60 и 105;

б) 162, 222 и 432;

в) 108, 72 и 96;

г) 240, 480 и 720.

2.63

а) 45, 60 и 105

$45 = \overline{)3 }· 3 · \overline{)5}60 = 2 · 2 · \overline{)3} · \overline{)5}105 = \overline{)3} ·\overline{) 5} · 7\mathrm{НОД}(45;60;105)=3 · 5 = 15$

б) 162, 222 и 432

$162 = \overline{)2} · \overline{)3 }· 3 · 3 · 3222 = \overline{)2} ·\overline{) 3} · 37432 = \overline{)2 }· 2 · 2 · 2 · \overline{)3} · 3 · 3\mathrm{НОД}(162; 222; 432) = 2 · 3 = 6$

в) 108, 72 и 96

$108 = \overline{)2 }· \overline{)2} · \overline{)3 }· 3 · 372 = \overline{)2 }· \overline{)2} · 2 · \overline{)3} · 396 = \overline{)2 }· \overline{)2} · 2 · 2 · 2 · \overline{)3}\mathrm{НОД}(108; 72; 96) =2 · 2 · 3 = 12$

г) 240, 480 и 720

$240 = \overline{)2} · \overline{)2} ·\overline{) 2 }·\overline{)2 }· \overline{)3} · \overline{)5}480 = \overline{)2} · \overline{)2} ·\overline{) 2 }·\overline{)2 } · 2 · \overline{)3} · \overline{)5}720 = \overline{)2} · \overline{)2} ·\overline{) 2 }·\overline{)2 }· \overline{)3} · 3 · \overline{)5}\mathrm{НОД}(240; 480; 720) = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 240$

а) Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел 45, 60 и 105 разложим каждое из них на простые множители.
Разложение числа 45: $45 = 3 \cdot 15 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.
Разложение числа 60: $60 = 6 \cdot 10 = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.
Разложение числа 105: $105 = 5 \cdot 21 = 3 \cdot 5 \cdot 7$.
Общими простыми множителями для этих трех чисел являются 3 и 5. Чтобы найти НОД, нужно перемножить эти общие множители, взяв каждый из них с наименьшим показателем степени, с которым он встречается в разложениях. Наименьшая степень для множителя 3 – это $3^1$, а для множителя 5 – это $5^1$.
Следовательно, $НОД(45, 60, 105) = 3^1 \cdot 5^1 = 15$.
Ответ: 15

б) Для нахождения НОД чисел 162, 222 и 432 разложим их на простые множители.
Разложение числа 162: $162 = 2 \cdot 81 = 2 \cdot 3^4$.
Разложение числа 222: $222 = 2 \cdot 111 = 2 \cdot 3 \cdot 37$.
Разложение числа 432: $432 = 4 \cdot 108 = 4 \cdot 4 \cdot 27 = 2^2 \cdot 2^2 \cdot 3^3 = 2^4 \cdot 3^3$.
Общими простыми множителями являются 2 и 3. Возьмем эти множители с наименьшими показателями степени из разложений: для множителя 2 это $2^1$, для множителя 3 это $3^1$.
Перемножим их, чтобы найти НОД: $НОД(162, 222, 432) = 2^1 \cdot 3^1 = 6$.
Ответ: 6

в) Для нахождения НОД чисел 108, 72 и 96 разложим их на простые множители.
Разложение числа 108: $108 = 2 \cdot 54 = 2 \cdot 2 \cdot 27 = 2^2 \cdot 3^3$.
Разложение числа 72: $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$.
Разложение числа 96: $96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3^1$.
Общие простые множители – 2 и 3. Наименьший показатель степени для множителя 2 – это 2 (из разложения $108 = 2^2 \cdot 3^3$). Наименьший показатель степени для множителя 3 – это 1 (из разложения $96 = 2^5 \cdot 3^1$).
Следовательно, НОД равен: $НОД(108, 72, 96) = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.
Ответ: 12

г) Для нахождения НОД чисел 240, 480 и 720 можно заметить, что числа 480 и 720 являются кратными числу 240:
$480 = 2 \cdot 240$
$720 = 3 \cdot 240$
Это означает, что 480 и 720 делятся на 240 без остатка. Само число 240 также делится на 240. Следовательно, 240 является общим делителем всех трех чисел. Так как 240 — это наибольшее число, на которое может делиться само число 240, то 240 и есть наибольший общий делитель.
$НОД(240, 480, 720) = 240$.
Для проверки можно также использовать метод разложения на множители:
$240 = 24 \cdot 10 = (2^3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^1$
$480 = 2 \cdot 240 = 2^5 \cdot 3^1 \cdot 5^1$
$720 = 3 \cdot 240 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1$
Общие множители: 2, 3, 5. Наименьшие степени: $2^4$, $3^1$, $5^1$.
$НОД(240, 480, 720) = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 16 \cdot 3 \cdot 5 = 240$.
Ответ: 240