ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 2.62

2.62. Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби:

а) 324432; б) 225275; в) 414504; г) 575825.

2.62

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{324}{432}$

$324 = \overline{)2} ·\overline{) 2} ·\overline{) 3} · \overline{)3} · \overline{)3} · 3432 = \overline{)2} · \overline{)2} · 2 · 2 · \overline{)3 }· \overline{)3} · \overline{)3}\mathrm{НОД}(324; 432) = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 = 108$

$\mathit{б}\mathbf{)} \frac{225}{275}$

$225 = 3 · 3 · \overline{)5} · \overline{)5}275 = \overline{)5} · \overline{)5 }· 11\mathrm{НОД}(225; 275) = 5 · 5 = 25$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{414}{504}$

$504 = \overline{)2 }· 2 · 2 · \overline{)3} · \overline{)3} · 7414 = \overline{)2 }·\overline{) 3} · \overline{)3} · 23\mathrm{НОД}(504; 414) = 2 · 3 · 3 = 18$

$\mathit{г}\mathbf{)} \frac{575}{825}$

$825 = 3 · \overline{)5} · \overline{)5} · 11575 = \overline{)5 }· \overline{)5} · 23\mathrm{НОД}(825; 575) = 5 · 5 = 25$

а) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) числителя 324 и знаменателя 432, разложим оба числа на простые множители.
Разложение числа 324 на простые множители:
$324 = 2 \cdot 162 = 2 \cdot 2 \cdot 81 = 2^2 \cdot 9^2 = 2^2 \cdot (3^2)^2 = 2^2 \cdot 3^4$.
Разложение числа 432 на простые множители:
$432 = 2 \cdot 216 = 2 \cdot 2 \cdot 108 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 54 = 2^3 \cdot 2 \cdot 27 = 2^4 \cdot 3^3$.
Чтобы найти НОД, нужно перемножить общие простые множители, взяв каждый из них с наименьшим показателем степени, с которым он входит в оба разложения.
Общие множители: 2 и 3. Наименьшая степень для 2 это $2^2$, для 3 это $3^3$.
НОД(324, 432) = $2^2 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108$.
Ответ: 108.

б) Найдем наибольший общий делитель для чисел 225 и 275. Для этого разложим их на простые множители.
Разложение числа 225:
$225 = 5 \cdot 45 = 5 \cdot 5 \cdot 9 = 5^2 \cdot 3^2$.
Разложение числа 275:
$275 = 5 \cdot 55 = 5 \cdot 5 \cdot 11 = 5^2 \cdot 11$.
Общий множитель для обоих чисел - это 5. Наименьший показатель степени, с которым 5 входит в оба разложения, это 2.
НОД(225, 275) = $5^2 = 25$.
Ответ: 25.

в) Найдем наибольший общий делитель для чисел 414 и 504. Разложим их на простые множители.
Разложение числа 414:
$414 = 2 \cdot 207 = 2 \cdot 3 \cdot 69 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 23 = 2 \cdot 3^2 \cdot 23$.
Разложение числа 504:
$504 = 2 \cdot 252 = 2 \cdot 2 \cdot 126 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 63 = 2^3 \cdot 9 \cdot 7 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7$.
Общие простые множители: 2 и 3. Наименьшая степень для 2 это $2^1$, для 3 это $3^2$.
НОД(414, 504) = $2^1 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$.
Ответ: 18.

г) Найдем наибольший общий делитель для чисел 575 и 825. Разложим их на простые множители.
Разложение числа 575:
$575 = 5 \cdot 115 = 5 \cdot 5 \cdot 23 = 5^2 \cdot 23$.
Разложение числа 825:
$825 = 5 \cdot 165 = 5 \cdot 5 \cdot 33 = 5^2 \cdot 3 \cdot 11$.
Общий множитель для обоих чисел - это 5. Наименьший показатель степени, с которым 5 входит в оба разложения, это 2.
НОД(575, 825) = $5^2 = 25$.
Ответ: 25.