ГДЗ Виленкин 6 класс — задание 2.522, часть 1

1

GDZ.ru

Ответ

Произведение данных дробей: $\dfrac{52}{45}$ (или $1\dfrac{7}{45}$ ).
Произведение обратных дробей: $\dfrac{45}{52}$ .
Свойство: данные два произведения являются взаимно обратными числами (их произведение равно $1$ ).
Проверка на примере: для дробей $\dfrac{2}{3}$ и $\dfrac{5}{7}$ произведение равно $\dfrac{10}{21}$ , а произведение обратных им дробей ( $\dfrac{3}{2}$ и $\dfrac{7}{5}$ ) равно $\dfrac{21}{10}$ . Числа $\dfrac{10}{21}$ и $\dfrac{21}{10}$ — взаимно обратные ( $\dfrac{10}{21} \cdot \dfrac{21}{10} = 1$ ).
Доказательство в общем виде: $\left(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d}\right) \cdot \left(\dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{d}{c}\right) = \dfrac{ac}{bd} \cdot \dfrac{bd}{ac} = 1$ .

Объяснение и пошаговое решение

1. Нахождение произведения исходных дробей

Чтобы перемножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:
$\frac{4}{5} \cdot \frac{13}{9} = \frac{4 \cdot 13}{5 \cdot 9} = \frac{52}{45} = 1\frac{7}{45}$

2. Нахождение произведения дробей, обратных данным

Дробь, обратная к $\dfrac{4}{5}$ , равна $\dfrac{5}{4}$ .
Дробь, обратная к $\dfrac{13}{9}$ , равна $\dfrac{9}{13}$ .

Перемножим их:
$\frac{5}{4} \cdot \frac{9}{13} = \frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 13} = \frac{45}{52}$

3. Формулировка свойства

Полученные числа $\dfrac{52}{45}$ и $\dfrac{45}{52}$ являются взаимно обратными, так как числитель и знаменатель поменялись местами, а их произведение равно $1$ :
$\frac{52}{45} \cdot \frac{45}{52} = 1$

4. Проверка предположения на другом примере

Возьмём дроби $\dfrac{2}{3}$ и $\dfrac{5}{7}$ :

Произведение данных дробей:
$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21}$
Дроби, обратные данным: $\dfrac{3}{2}$ и $\dfrac{7}{5}$ . Их произведение:
$\frac{3}{2} \cdot \frac{7}{5} = \frac{3 \cdot 7}{2 \cdot 5} = \frac{21}{10}$
Проверим их взаимную обратность:
$\frac{10}{21} \cdot \frac{21}{10} = 1$

Свойство выполняется.

5. Доказательство свойства в общем виде

Пусть даны любые две дроби $\dfrac{a}{b}$ и $\dfrac{c}{d}$ (где $a, b, c, d \neq 0$ ).

Найдём произведение данных дробей:
$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$
Запишем дроби, обратные данным: это $\dfrac{b}{a}$ и $\dfrac{d}{c}$ . Их произведение равно:
$\frac{b}{a} \cdot \frac{d}{c} = \frac{bd}{ac}$
Умножим первое полученное произведение на второе:
$\frac{ac}{bd} \cdot \frac{bd}{ac} = \frac{ac \cdot bd}{bd \cdot ac} = 1$

Так как результат умножения равен $1$ , по определению числа $\dfrac{ac}{bd}$ и $\dfrac{bd}{ac}$ являются взаимно обратными. Свойство полностью доказано.

Решебник 2026

Видеорешение

Решебник 2021

2

ГДЗ Ракета

Оригинал ↗

Условие

Найдите произведение дробей 4/5 и 13/9 и произведение дробей, обратных данным. Каким свойством обладают эти два произведения? Проверьте ваше предположение ещё на одном примере. Докажите это свойство в общем виде (с помощью буквенных выражений).

Ответ

4/5 · 13/9 = 52/45 5/4 · 9/13 = 45/52 52/45 и 45/52 – взаимно обратные числа.
Свойство: произведение дробей и произведение дробей, обратных данным, являются взаимно обратными числами.
Пример: 1/2 · 1/3 = 1/6 2 · 3 = 6 1/6 и 6 – взаимно обратные числа.
Доказательство: a/b · x/y = ax/by b/a · y/x = by/ax ax/by и by/ax – взаимно обратные числа.

3

Буду отличником

Оригинал ↗

Ответ

№2.522 учебника 2023-2026 (стр. 113):

№2.522 учебника 2021-2022 (стр. 107):

1) 100%-35%=65%-всех саженцев посадили вторая и третья бригада вместе (остаток).

60%=60:100=0,6.

2) 65%•0,6=39%- всех саженцев посадила вторая бригада.

×	6	5
×	0	6
3	9	0

3) 65%-39%=26% - всех саженцев посадила третья бригада.

26%=26:100=0,26;

4) 520:0,26=52000:26=2000 (саж.) - посадили всего.

Ответ: всего посадили 2000 саженцев.

Пояснения:

По условию первая бригада посадила 35% всех имевшихся саженцев. Нам известно, что величина, от которой вычисляются проценты составляет 100 своих сотых долей, т.е. 100 %, тогда вторая и третья бригада посадили 100%-35%=65%-всех саженцев.

То есть остаток составил 65%. По условию вторая бригада посадила 60 % оставшихся саженцев. Переведем данное значение в десятичную дробь, для этого разделим число, стоящее перед знаком процентов на 100, получаем, что 60%=60:100=0,6. То есть нам надо найти 0,6 от 65%, а чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь, получаем, что вторая бригада посадила 65%•0,6=39%- всех саженцев.

Так как мы нашли, что вторая и третья бригада посадили 100%-35%=65%-всех саженцев, при чем 39% из них посадила вторая бригада, то третья бригада посадила 65%-39%=26% - всех саженцев. Переведем данное значение в десятичную дробь, для этого разделим число, стоящее перед знаком процентов на 100, получаем, что 26%=26:100=0,26.

По условию третья бригада посадила 520 саженцев. То есть 520 саженцев составляют 0,26 всех саженцев. Чтобы найти число по значению, соответствующему данной дроби, надо это значение разделить на дробь, тогда получаем, что всего посадили 520:0,26=52000:26=2000 саженцев.

4

Помогалка

Оригинал ↗

cтраница 113 задача 2.522 математика 6 класс Виленкин часть 1 просвещение ФГОС 2023

5

РешУтка

Оригинал ↗

6

Решак

Оригинал ↗

Решение #1(Учебник 2026)

Изображение Три бригады посадили ёлочки для нового леса. Первая бригада посадила 35 % всех имевшихся...

Решение #2(Учебник 2026)

Решение #3(Учебник 2026)

Решение #4(Учебник 2021)

Решение #5(Учебник 2021)

Решение #6(Учебник 2021)

7

ГДЗ ТОП

Оригинал ↗

№2.522 (с. 113)

Условие. №2.522 (с. 113)

скриншот условия

Математика, 6 класс Учебник, авторы: Виленкин Наум Яковлевич, Жохов Владимир Иванович, Чесноков Александр Семёнович, Александрова Лилия Александровна, Шварцбурд Семён Исаакович, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, Часть 1, страница 113, номер 2.522, Условие

2.522. Найдите произведение дробей 45 и 139 и произведение дробей, обратных данным. Каким свойством обладают эти два произведения? Проверьте ваше предположение ещё на одном примере. Докажите это свойство в общем виде (с помощью буквенных выражений).

Решение 1. №2.522 (с. 113)

2.522

$\frac{4}{5} \cdot \frac{13}{9} = \frac{4 \cdot 13}{5 \cdot 9} = \frac{52}{45}; \frac{5}{4} \cdot \frac{9}{13} = \frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 13} = \frac{45}{52} .$

Произведение дробей и произведение дробей, обратных данным, являются взаимно обратными числами.

Пример:

$\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 5} = \frac{6}{35} \frac{7}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{7 \cdot 5}{3 \cdot 2} = \frac{35}{6}$

числа $\frac{6}{35}$ и $\frac{35}{6}$ являются взаимно обратными

Пусть даны дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ .

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}$ – произведение дробей

$\frac{b}{a}$ и $\frac{d}{c}$ – обратные дроби

$\frac{b}{a} \cdot \frac{d}{c} = \frac{b d}{a c}$ – произведение обратных дробей

$\frac{a c}{b d}$ и $\frac{b d}{a c}$ – взаимно обратные числа, доказано.

Решение 2. №2.522 (с. 113)

Найдите произведение дробей $\frac{4}{5}$ и $\frac{13}{9}$

Чтобы найти произведение двух дробей, необходимо перемножить их числители и их знаменатели. Произведение числителей станет новым числителем, а произведение знаменателей — новым знаменателем.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{13}{9} = \frac{4 \cdot 13}{5 \cdot 9} = \frac{52}{45}$

Ответ: $\frac{52}{45}$

и произведение дробей, обратных данным.

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Чтобы найти дробь, обратную данной, нужно поменять местами ее числитель и знаменатель.

Дробь, обратная дроби $\frac{4}{5}$ , это $\frac{5}{4}$ .
Дробь, обратная дроби $\frac{13}{9}$ , это $\frac{9}{13}$ .

Теперь найдем произведение этих обратных дробей:

$\frac{5}{4} \cdot \frac{9}{13} = \frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 13} = \frac{45}{52}$

Ответ: $\frac{45}{52}$

Каким свойством обладают эти два произведения?

Первое произведение равно $\frac{52}{45}$ , а второе — $\frac{45}{52}$ . Эти два числа являются взаимно обратными, так как их числители и знаменатели поменяны местами. Проверим, равно ли их произведение единице:

$\frac{52}{45} \cdot \frac{45}{52} = \frac{52 \cdot 45}{45 \cdot 52} = 1$

Ответ: Эти два произведения являются взаимно обратными числами.

Проверьте ваше предположение ещё на одном примере.

Возьмем для примера две другие дроби: $\frac{2}{3}$ и $\frac{7}{11}$ .
1. Находим их произведение: $\frac{2}{3} \cdot \frac{7}{11} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 11} = \frac{14}{33}$ .
2. Находим дроби, обратные данным: $\frac{3}{2}$ и $\frac{11}{7}$ .
3. Находим произведение обратных дробей: $\frac{3}{2} \cdot \frac{11}{7} = \frac{3 \cdot 11}{2 \cdot 7} = \frac{33}{14}$ .
Полученные результаты $\frac{14}{33}$ и $\frac{33}{14}$ также являются взаимно обратными числами. Предположение подтвердилось.

Ответ: Предположение подтвердилось на примере дробей $\frac{2}{3}$ и $\frac{7}{11}$ , произведения которых равны $\frac{14}{33}$ и $\frac{33}{14}$ .

Докажите это свойство в общем виде (с помощью буквенных выражений).

Пусть нам даны две произвольные дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ , где $a, b, c, d$ — натуральные числа (то есть не равны нулю).

1. Найдем произведение этих дробей. Обозначим его как $P_1$ :
$P_1 = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

2. Найдем дроби, обратные данным. Это будут дроби $\frac{b}{a}$ и $\frac{d}{c}$ .

3. Найдем произведение обратных дробей. Обозначим его как $P_2$ :
$P_2 = \frac{b}{a} \cdot \frac{d}{c} = \frac{b \cdot d}{a \cdot c}$

4. Чтобы доказать, что произведения $P_1$ и $P_2$ являются взаимно обратными, нужно показать, что их произведение равно 1:
$P_1 \cdot P_2 = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \cdot \frac{b \cdot d}{a \cdot c} = \frac{(a \cdot c) \cdot (b \cdot d)}{(b \cdot d) \cdot (a \cdot c)} = 1$

Поскольку произведение $P_1$ и $P_2$ равно 1, они по определению являются взаимно обратными числами, что и требовалось доказать.

Ответ: Произведение двух дробей $\frac{a \cdot c}{b \cdot d}$ и произведение их обратных дробей $\frac{b \cdot d}{a \cdot c}$ всегда являются взаимно обратными числами, так как их произведение равно 1.

Решение 3. №2.522 (с. 113)

Решение 4. №2.522 (с. 113)

8

Решалка

Оригинал ↗

$\frac{4}{5} * \frac{13}{9} = \frac{52}{45}$
$\frac{5}{4} * \frac{9}{13} = \frac{45}{52}$
$\frac{52}{45}$ и $\frac{45}{52}$ − взаимно обратные числа.

Свойство:
Произведение дробей обратных данным, обратно произведению этих дробей.
Например:
$\frac{2}{3} * \frac{7}{9} = \frac{14}{27}$
$\frac{3}{2} * \frac{9}{7} = \frac{27}{14}$
$\frac{14}{27}$ и $\frac{27}{14}$ − взаимно обратные числа.

Доказательство:
$\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$
$\frac{b}{a} * \frac{d}{c} = \frac{bd}{ac}$
$\frac{ac}{bd}$ и $\frac{bd}{ac}$ − взаимно обратные числа.

Подробный разбор

Теория

Прежде чем приступить к решению задачи, давай вспомним основные понятия и правила, которые нам понадобятся.

1. Обыкновенные дроби: Число вида $\frac{a}{b}$, где a − числитель, b − знаменатель.
2. Произведение дробей: Чтобы умножить дробь на дробь, нужно умножить числители и знаменатели:
$\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a * c}{b * d}$
3. Взаимно обратные числа: Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Например, $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{2}$ − взаимно обратные, так как $\frac{2}{3} * \frac{3}{2} = 1$. Чтобы получить число, обратное данному, нужно поменять местами числитель и знаменатель. Число, обратное дроби $\frac{a}{b}$, есть дробь $\frac{b}{a}$.

Решение

1. Найдем произведение дробей $\frac{4}{5}$ и $\frac{13}{9}$:

$\frac{4}{5} * \frac{13}{9} = \frac{4 * 13}{5 * 9} = \frac{52}{45}$

2. Найдем дроби, обратные данным:

Дробь, обратная $\frac{4}{5}$, равна $\frac{5}{4}$.
Дробь, обратная $\frac{13}{9}$, равна $\frac{9}{13}$.

3. Найдем произведение дробей, обратных данным:

$\frac{5}{4} * \frac{9}{13} = \frac{5 * 9}{4 * 13} = \frac{45}{52}$

4. Проверим, каким свойством обладают эти два произведения:

Чтобы проверить, являются ли числа $\frac{52}{45}$ и $\frac{45}{52}$ взаимно обратными, найдем их произведение:

$\frac{52}{45} * \frac{45}{52} = \frac{52 * 45}{45 * 52} = \frac{2340}{2340} = 1$

Так как произведение равно 1, то числа $\frac{52}{45}$ и $\frac{45}{52}$ − взаимно обратные.

Вывод: Произведение дробей $\frac{4}{5}$ и $\frac{13}{9}$ и произведение дробей, обратных данным, являются взаимно обратными числами.

5. Проверим наше предположение еще на одном примере:

Возьмем дроби $\frac{2}{7}$ и $\frac{5}{3}$.

Произведение данных дробей: $\frac{2}{7} * \frac{5}{3} = \frac{2 * 5}{7 * 3} = \frac{10}{21}$
Дроби, обратные данным: $\frac{7}{2}$ и $\frac{3}{5}$.
Произведение дробей, обратных данным: $\frac{7}{2} * \frac{3}{5} = \frac{7 * 3}{2 * 5} = \frac{21}{10}$

Проверим, являются ли $\frac{10}{21}$ и $\frac{21}{10}$ взаимно обратными:

$\frac{10}{21} * \frac{21}{10} = \frac{10 * 21}{21 * 10} = \frac{210}{210} = 1$

Вывод: На втором примере мы также убедились, что произведение дробей и произведение дробей, обратных данным, являются взаимно обратными числами.

6. Докажем это свойство в общем виде (с помощью буквенных выражений):

Пусть даны две дроби: $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$.

Произведение данных дробей: $\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a * c}{b * d} = \frac{ac}{bd}$
Дроби, обратные данным: $\frac{b}{a}$ и $\frac{d}{c}$.
Произведение дробей, обратных данным: $\frac{b}{a} * \frac{d}{c} = \frac{b * d}{a * c} = \frac{bd}{ac}$

Проверим, являются ли $\frac{ac}{bd}$ и $\frac{bd}{ac}$ взаимно обратными:

$\frac{ac}{bd} * \frac{bd}{ac} = \frac{ac * bd}{bd * ac} = \frac{acbd}{bdac} = 1$

Так как произведение равно 1, то дроби $\frac{ac}{bd}$ и $\frac{bd}{ac}$ − взаимно обратные.

Вывод: Мы доказали, что произведение двух дробей и произведение дробей, обратных данным, являются взаимно обратными числами.

9

Ответкин

Оригинал ↗

2.522. Найдите произведение дробей 45 и 139 и произведение дробей, обратных данным. Каким свойством обладают эти два произведения? Проверьте ваше предположение ещё на одном примере. Докажите это свойство в общем виде (с помощью буквенных выражений).

Решение №1 2024 г.

Фото решения 2: Номер №2.522, Часть 1 из ГДЗ по Математике 6 класс: Виленкин Н.Я. 2024г.

ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 2.522

Ответ

Объяснение и пошаговое решение

1. Нахождение произведения исходных дробей

2. Нахождение произведения дробей, обратных данным

3. Формулировка свойства

4. Проверка предположения на другом примере

5. Доказательство свойства в общем виде

Решебник 2026

Видеорешение

Решебник 2021

Условие

Ответ

Ответ

Решение #1(Учебник 2026)

Решение #2(Учебник 2026)

Решение #3(Учебник 2026)

Решение #4(Учебник 2021)

Решение #5(Учебник 2021)

Решение #6(Учебник 2021)

Подробный разбор

Решение №1 2024 г.