ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 2.4

2.4. Может ли произведение двух простых чисел быть простым числом?

2.4

Произведение двух простых чисел не может быть простым числом, т.к. это произведение будет иметь более двух делителей: 1 и каждое из двух данных простых чисел

Пример: $2 · 3 = 6$, 2 и 3 – простые числа, 6 – составное.

Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к определению простого числа. Простое число — это натуральное число, которое больше 1 и имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Все остальные натуральные числа, большие 1, называются составными.

Пусть у нас есть два простых числа, назовем их $p_1$ и $p_2$. По определению, оба этих числа больше 1, то есть $p_1 > 1$ и $p_2 > 1$.

Рассмотрим их произведение, которое обозначим как $P$: $$P = p_1 \cdot p_2$$

Теперь проанализируем делители числа $P$. Чтобы число $P$ было простым, оно должно делиться только на 1 и на само себя. Однако из самого равенства $P = p_1 \cdot p_2$ следует, что число $P$ делится нацело как на $p_1$, так и на $p_2$.

Давайте проверим, могут ли эти делители ($p_1$ и $p_2$) быть равны 1 или самому числу $P$.

1. Поскольку $p_1$ — простое число, оно по определению больше 1. Значит, $p_1 \ne 1$.
2. Поскольку $p_2$ — простое число, оно также больше 1. Это означает, что произведение $P = p_1 \cdot p_2$ будет строго больше, чем $p_1$. Следовательно, $p_1 \ne P$.

Таким образом, мы нашли у числа $P$ делитель $p_1$, который не является ни единицей, ни самим числом $P$. Этого уже достаточно, чтобы утверждать, что число $P$ не является простым. У него есть как минимум три делителя: $1$, $p_1$ и $P$. Аналогичные рассуждения верны и для $p_2$.

Следовательно, произведение двух простых чисел всегда является составным числом.

Пример:

Возьмем простые числа 3 и 5. Их произведение: $3 \cdot 5 = 15$. Число 15 имеет делители 1, 3, 5, 15. Так как у него больше двух делителей, оно является составным.

Возьмем простое число 7 и умножим его на себя: $7 \cdot 7 = 49$. Число 49 имеет делители 1, 7, 49. У него три делителя, значит, оно также является составным.

Ответ: нет, произведение двух простых чисел не может быть простым числом.