Часть 1 · § 2 · 9 вариантов
Ответ:
а)
б)
Соблюдаем порядок действий: сначала вычисляем значение в скобках, затем выполняем умножение слева направо, а в конце — сложение.
Действие в скобках:
Первое умножение:
Второе умножение:
Третье умножение:
Четвертое умножение:
Сложение результатов:
Действия в первых скобках:
Действия во вторых скобках:
Первое умножение:
Второе умножение:
Вычитание:
Выполните действия:
1) 3 2⁽⁵/3 + 2 4⁽³/5 = 3 10/15 + 2 12/15 = 5 22/15 = 5 + 1 7/15 = 6 7/15 2) 9/52 · 4 1/3 = 9/52 · 13/3 = ³̶9̶ · ̶1̶3̶¹/₄ ̶5̶2̶ · ̶3̶ ₁ = 3/4 3) 3/4 · 1/3 = ̶3̶ · 1/4 · ̶3̶ = 1/4 4) 6 7/15 · 60/97 = 97/15 · 60/97 = ̶9̶7̶ · ̶6̶0̶⁴/₁ ̶1̶5̶ · ̶9̶7̶ = 4 5) 5/36 · 1 4/5 = 5/36 · 9/5 = ̶5̶ · ̶9̶¹/₄ ̶3̶6̶ · ̶5̶ = 1/4 6) 1/4 + 4 = 4 1/4 7) 4 1/4 + 1/4 = 4 2/4 = 4 1/2
1) 5⁽⁵/9 + 1⁽⁹/5 = 25/45 + 9/45 = 34/45 2) 28 6⁽²/7 − 19 5/14 = 28 12/14 − 19 5/14 = 9 7/14 = 9 1/2 3) 34/45 · 9 1/2 = 34/45 · 19/2 = ̶3̶4̶¹⁷ · 19/45 · ̶2̶ ₁ = 323/45 = 7 8/45 4) 7 8/45 · 9/17 = 323/45 · 9/17 = 17 · 19/45 · 9/17 = ̶1̶7̶ · 19 · ̶9̶/5 · ̶9̶ · ̶1̶7̶ = 19/5 = 3 4/5 5) 3 4/5 − 1/5 = 3 3/5
№2.344 учебника 2023-2026 (стр. 90):
Пояснения:
Действиями первой ступени называют сложение и вычитание чисел, а действиями второй ступени - умножение и деление чисел.
При вычислении значений выражений порядок выполнения действий определяют следующие правила:
1. Если выражение содержит только действия одной ступени и в нем нет скобок, то действия выполняют по порядку слева направо.
2. Если в выражении нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, потом - действия первой ступени.
3. Если в выражении есть скобки есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая правила 1 и 2).
Красные числа, стоящие сверху над действиями, показывают в каком порядке нужно выполнять действия.
Вычисления выполняем по следующим правилам:
1) чтобы найти сумму смешанных чисел, надо: дробные части этих чисел привести к наименьшему общему знаменателю; отдельно выполнить сложение целых и отдельно дробных частей; при необходимости сократить дробь (разделить числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель), выделить целую часть (когда числитель больше знаменателя) и прибавить ее к полученной целой части;
2) чтобы найти разность смешанных чисел, надо: дробные части этих чисел привести к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого, то надо отдельно вычесть целые и отдельно дробные части и результаты сложить; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то надо превратить ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть, и отдельно вычесть целые и отдельно дробные части и результаты сложить; при необходимости сократить дробь (разделить числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель);
3) чтобы сложить (вычесть) две дроби с разными знаменателями, надо: привести данные дроби к общему знаменателю, а затем применить правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями;
4) чтобы найти сумму (разность) двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно сложить (вычесть) их числители, а знаменатель оставить прежним;
5) произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель - произведению знаменателей;
6) чтобы выполнить умножение смешанных чисел, нужно записать эти числа в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей. Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, надо целую часть числа умножить на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части; эту сумму записать как числитель неправильной дроби, а в ее знаменатель записать знаменатель дробной части смешанного числа.
При выполнении умножения дробей, чтобы вычисления были проще, не надо перемножать сразу, лучше сделать это после сокращения. Сократить дробь - значит, разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же число (наибольший общий делитель).
Если при вычислениях получилась неправильная дробь (числитель больше знаменателя), ее нужно преобразовать в смешанное число. Чтобы неправильную дробь, числитель которой нацело не делится на знаменатель, преобразовать в смешанное число, надо числитель разделить на знаменатель; полученное неполное частное записать как целую часть смешанного числа, а остаток - как числитель его дробной части.
№2.344 учебника 2021-2022 (стр. 85):
120% = 1,2
36 000 • 1,2 = 43 200 (р.)
| × | 3 | 6 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | 2 | |||||
| + | 7 | 2 | ||||
| 3 | 6 | |||||
| 4 | 3 | 2 | 0 | 0 | 0 |
Ответ: 43 200 р. стоит ноутбук в магазине электроники.
Пояснения:
Чтобы найти несколько процентов от числа, нужно сначала перевести проценты в десятичную дробь, а затем умножить число на полученную десятичную дробь. Чтобы проценты записать в виде десятичной дроби, нужно число стоящее перед знаком % разделить на 100.
В интернет-магазине ноутбук стоит 36 000 р., а в магазине электроники цена составляет 120% от цены в интернет-магазине.
120% = 120 : 100 = 1,2.
Значит, в магазине электроники ноутбук стоит:
36 000 • 1,2 = 43 200 (р.).
Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, надо: умножить их как натуральные числа, не обращая внимание на запятую и в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятой у умножаемой дроби.
2.344. Выполните действия:
а) 952 · 413 · 13 + (323 + 245) · 6097 + 536 · 145;
б) (59 + 15) · (2867 – 19514) · 917 – 15.
2.344
а)
Решим данный пример по действиям, так как он состоит из трех слагаемых.
1. Вычислим значение первого слагаемого. Для этого сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: . Теперь выполним умножение, сокращая дроби: .
2. Вычислим значение второго слагаемого. Сначала выполним действие в скобках. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: ; . Приведем дроби к общему знаменателю 15 и сложим их: . Теперь умножим полученный результат на : .
3. Вычислим значение третьего слагаемого. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: . Выполним умножение: .
4. Теперь сложим все полученные результаты: .
Ответ: .
б)
Выполним действия в соответствии с их порядком: сначала действия в скобках, затем умножение, и в конце вычитание.
1. Выполним сложение в первых скобках. Найдем общий знаменатель для дробей и , он равен 45: .
2. Выполним вычитание во вторых скобках. Приведем дробные части смешанных чисел к общему знаменателю 14: . Теперь вычтем целые и дробные части по отдельности: . Преобразуем результат в неправильную дробь для удобства дальнейших вычислений: .
3. Теперь выполним умножение результатов, полученных в скобках, на дробь : . Сократим полученное выражение: .
4. Выполним последнее действие — вычитание: . Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: .
Ответ: .
$\frac{9}{52} \overset{2}{*} 4\frac{1}{3} \overset{3}{*} \frac{1}{3} \overset{6}{+} (3\frac{2}{3} \overset{1}{+} 2\frac{4}{5}) \overset{4}{*} \frac{60}{97} \overset{7}{+} \frac{5}{36} \overset{5}{*} 1\frac{4}{5} = 4\frac{1}{2}$
1) $3\frac{2}{3}^{(5} + 2\frac{4}{5}^{(3} = 3\frac{10}{15} + 2\frac{12}{15} = 5\frac{22}{15} = 6\frac{7}{15}$
2) $\frac{9}{52} * 4\frac{1}{3} = \frac{\bcancel{9}^{3}}{\bcancel{52}_{4}} * \frac{\bcancel{13}^{1}}{\bcancel{3}_{1}} = \frac{3}{4}$
3) $\frac{\bcancel{3}^{1}}{4} * \frac{1}{\bcancel{3}_{1}} = \frac{1}{4}$
4) $6\frac{7}{15} * \frac{60}{97} = \frac{\bcancel{97}^{1}}{\bcancel{15}_{1}} * \frac{\bcancel{60}^{4}}{\bcancel{97}_{1}} = 4$
5) $\frac{5}{36} * 1\frac{4}{5} = \frac{\bcancel{5}^{1}}{\bcancel{36}_{4}} * \frac{\bcancel{9}^{1}}{\bcancel{5}_{1}} = \frac{1}{4}$
6) $\frac{1}{4} + 4 = 4\frac{1}{4}$
7) $4\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 4\frac{2}{4} = 4\frac{1}{2}$
$(\frac{5}{9} \overset{1}{+} \frac{1}{5}) \overset{3}{*} (28\frac{6}{7} \overset{2}{-} 19\frac{5}{14}) \overset{4}{*} \frac{9}{17} \overset{5}{-} \frac{1}{5} = 3\frac{3}{5}$
1) $\frac{5}{9}^{(5} + \frac{1}{5}^{(9} = \frac{25}{45} + \frac{9}{45} = \frac{34}{45}$
2) $28\frac{6}{7}^{(2} - 19\frac{5}{14} = 28\frac{12}{14} - 19\frac{5}{14} = 9\frac{7}{14} = 9\frac{1}{2}$
3) $\frac{34}{45} * 9\frac{1}{2} = \frac{\bcancel{34}^{17}}{45} * \frac{19}{\bcancel{2}_{1}} = \frac{323}{45} = 7\frac{8}{45}$
4) $7\frac{8}{45} * \frac{9}{17} = \frac{\bcancel{323}^{19}}{\bcancel{45}_{5}} * \frac{\bcancel{9}^{1}}{\bcancel{17}_{1}} = \frac{19}{5} = 3\frac{4}{5}$
5) $3\frac{4}{5} - \frac{1}{5} = 3\frac{3}{5}$
Теория для решения задачи
Чтобы успешно решить эти примеры, нам нужно вспомнить несколько важных правил работы с дробями:
1. Сложение и вычитание дробей:
2. Умножение дробей:
3. Деление дробей:
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую дробь:
$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} * \frac{d}{c} = \frac{a * d}{b * c}$
4. Смешанные числа:
5. Порядок действий:
Теперь, когда мы повторили основные правила, давай решим примеры.
Решение примера "а"
$\frac{9}{52} * 4\frac{1}{3} * \frac{1}{3} + (3\frac{2}{3} + 2\frac{4}{5}) * \frac{60}{97} + \frac{5}{36} * 1\frac{4}{5}$
1. Сложение в скобках:
$3\frac{2}{3} + 2\frac{4}{5}$
Приводим дроби к общему знаменателю (15):
$3\frac{2}{3} = 3\frac{10}{15}$
$2\frac{4}{5} = 2\frac{12}{15}$
Складываем:
$3\frac{10}{15} + 2\frac{12}{15} = 5\frac{22}{15}$
Выделяем целую часть:
$5\frac{22}{15} = 5 + \frac{22}{15} = 5 + 1\frac{7}{15} = 6\frac{7}{15}$
2. Первое умножение:
$\frac{9}{52} * 4\frac{1}{3} * \frac{1}{3}$
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$4\frac{1}{3} = \frac{4 * 3 + 1}{3} = \frac{13}{3}$
Умножаем:
$\frac{9}{52} * \frac{13}{3} * \frac{1}{3} = \frac{9 * 13 * 1}{52 * 3 * 3}$
Сокращаем:
$\frac{\bcancel{9}^{1}}{\bcancel{3}_{1} * \bcancel{3}_{1}} * \frac{\bcancel{13}^{1}}{\bcancel{52}_{4}} = \frac{1}{4}$
3. Второе умножение:
$6\frac{7}{15} * \frac{60}{97}$
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$6\frac{7}{15} = \frac{6 * 15 + 7}{15} = \frac{97}{15}$
Умножаем:
$\frac{97}{15} * \frac{60}{97} = \frac{97 * 60}{15 * 97}$
Сокращаем:
$\frac{\bcancel{97}^{1}}{\bcancel{97}_{1}} * \frac{\bcancel{60}^{4}}{\bcancel{15}_{1}} = 4$
4. Третье умножение:
$\frac{5}{36} * 1\frac{4}{5}$
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$1\frac{4}{5} = \frac{1 * 5 + 4}{5} = \frac{9}{5}$
Умножаем:
$\frac{5}{36} * \frac{9}{5} = \frac{5 * 9}{36 * 5}$
Сокращаем:
$\frac{\bcancel{5}^{1}}{\bcancel{5}_{1}} * \frac{\bcancel{9}^{1}}{\bcancel{36}_{4}} = \frac{1}{4}$
5. Сложение:
$\frac{1}{4} + 4 + \frac{1}{4} = 4 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 4 + \frac{2}{4} = 4 + \frac{1}{2} = 4\frac{1}{2}$
Ответ: $4\frac{1}{2}$
Решение примера "б"
$(\frac{5}{9} + \frac{1}{5}) * (28\frac{6}{7} - 19\frac{5}{14}) * \frac{9}{17} - \frac{1}{5}$
1. Сложение в первой скобке:
$\frac{5}{9} + \frac{1}{5}$
Приводим к общему знаменателю (45):
$\frac{5}{9} = \frac{25}{45}$
$\frac{1}{5} = \frac{9}{45}$
Складываем:
$\frac{25}{45} + \frac{9}{45} = \frac{34}{45}$
2. Вычитание во второй скобке:
$28\frac{6}{7} - 19\frac{5}{14}$
Приводим дроби к общему знаменателю (14):
$28\frac{6}{7} = 28\frac{12}{14}$
Вычитаем:
$28\frac{12}{14} - 19\frac{5}{14} = 9\frac{7}{14} = 9\frac{1}{2}$
3. Первое умножение:
$\frac{34}{45} * 9\frac{1}{2}$
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$9\frac{1}{2} = \frac{9 * 2 + 1}{2} = \frac{19}{2}$
Умножаем:
$\frac{34}{45} * \frac{19}{2} = \frac{34 * 19}{45 * 2}$
Сокращаем:
$\frac{\bcancel{34}^{17}}{45} * \frac{19}{\bcancel{2}_{1}} = \frac{17 * 19}{45} = \frac{323}{45}$
Выделяем целую часть:
$\frac{323}{45} = 7\frac{8}{45}$
4. Второе умножение:
$7\frac{8}{45} * \frac{9}{17}$
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$7\frac{8}{45} = \frac{7 * 45 + 8}{45} = \frac{323}{45}$
Умножаем:
$\frac{323}{45} * \frac{9}{17} = \frac{323 * 9}{45 * 17}$
Сокращаем:
$\frac{\bcancel{323}^{19}}{\bcancel{17}_{1}} * \frac{\bcancel{9}^{1}}{\bcancel{45}_{5}} = \frac{19}{5}$
Выделяем целую часть:
$\frac{19}{5} = 3\frac{4}{5}$
5. Вычитание:
$3\frac{4}{5} - \frac{1}{5} = 3\frac{3}{5}$
Ответ: $3\frac{3}{5}$
