ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 1.149

1.149. Может ли выражаться простым числом периметр или площадь прямоугольника, стороны которого выражены натуральными числами?

1.149

Периметр прямоугольника не может быть простым числом, т.к. он всегда будет иметь более 2 делителей.

Площадь прямоугольника может быть простым числом, когда одна из его сторон равна 1, а другая – простому числу.

Рассмотрим две части этого вопроса отдельно: для периметра и для площади.

Периметр

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. По условию, $a$ и $b$ — натуральные числа, то есть $a \ge 1$ и $b \ge 1$. Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле: $P = 2a + 2b = 2(a+b)$.

Так как $a$ и $b$ — натуральные числа, их сумма $(a+b)$ также является натуральным числом. Минимальное значение суммы $(a+b)$ равно $1+1=2$. Следовательно, периметр $P$ всегда является произведением числа 2 на натуральное число $(a+b)$, которое не меньше 2. Это означает, что $P$ — это четное число, и $P \ge 2 \cdot 2 = 4$.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Единственное четное простое число — это 2. Поскольку периметр $P$ всегда является четным числом и $P \ge 4$, он не может быть равен 2. Любое другое четное число является составным, так как делится на 2 (и не равно 2). Таким образом, периметр прямоугольника со сторонами, выраженными натуральными числами, не может быть простым числом.

Ответ: нет, периметр прямоугольника с натуральными сторонами не может выражаться простым числом.

Площадь

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, где $a, b$ — натуральные числа. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле: $S = a \cdot b$.

Мы хотим выяснить, может ли площадь $S$ быть простым числом. Пусть $p$ — некоторое простое число. По определению, единственными натуральными делителями простого числа $p$ являются 1 и само $p$. Если мы хотим, чтобы площадь $S = a \cdot b$ была равна простому числу $p$, то множители $a$ и $b$ должны быть равны 1 и $p$ (в любом порядке).

Например, мы можем взять прямоугольник со сторонами $a=1$ и $b=p$. Так как любое простое число $p$ является натуральным ($p \ge 2$), то $a=1$ и $b=p$ являются натуральными числами, что удовлетворяет условию задачи. Площадь такого прямоугольника будет равна $S = 1 \cdot p = p$.

Пример: возьмем простое число 7. Прямоугольник со сторонами 1 и 7 (оба числа натуральные) имеет площадь $S = 1 \cdot 7 = 7$. Число 7 — простое. Следовательно, площадь прямоугольника со сторонами, выраженными натуральными числами, может быть простым числом.

Ответ: да, площадь прямоугольника с натуральными сторонами может выражаться простым числом (если одна из сторон равна 1, а другая — этому простому числу).