ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 2.540

2.540. Практическая работа.

Оборудование: карандаш, линейка, циркуль, транспортир, плотная бумага, ножницы, клей.

а) Задание: склейте модель треугольной призмы (рис. 2.11, а).

Порядок работы.

1) На плотном листе бумаги постройте развёртку треугольной призмы в натуральную величину (рис. 2.13, а), используя задачу 1.136 на с. 34 для построения треугольников.

2) Склейте модель треугольной призмы.

б) Задание: сделайте модель шестиугольной призмы (рис. 2.11, б).

Порядок работы.

1) На плотном листе бумаги постройте развёртку шестиугольной призмы в натуральную величину (рис. 2.13, б), используя задачу 2.140 на с. 63 для построения шестиугольников.

2) Склейте модель шестиугольной призмы.

2.540

(практическая работа)

а) Задание: склейте модель треугольной призмы (рис. 2.11, а).

Согласно порядку работы, для создания модели треугольной призмы необходимо сначала построить её развёртку на плотной бумаге в натуральную величину, как показано на рисунке 2.13, а, а затем вырезать и склеить. Проанализируем геометрические характеристики призмы, модель которой необходимо изготовить.

Из развёртки видно, что в основании призмы лежит треугольник со сторонами $a=4$, $b=5$ и $c=6$. Призма является прямой, так как её боковые грани — прямоугольники. Высота призмы $H=12$.

1. Найдём площадь основания призмы ($S_{осн}$). Для этого воспользуемся формулой Герона. Сначала вычислим полупериметр треугольника $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4+5+6}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$
Теперь вычислим площадь основания:
$S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{7.5(7.5-4)(7.5-5)(7.5-6)}$
$S_{осн} = \sqrt{7.5 \cdot 3.5 \cdot 2.5 \cdot 1.5} = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{1575}{16}} = \frac{\sqrt{225 \cdot 7}}{4} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$

2. Найдём площадь боковой поверхности ($S_{бок}$). Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания $P$ на высоту призмы $H$.
$P = a+b+c = 4+5+6 = 15$
$S_{бок} = P \cdot H = 15 \cdot 12 = 180$

3. Найдём площадь полной поверхности ($S_{полн}$). Площадь полной поверхности равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей основания.
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 180 + 2 \cdot \frac{15\sqrt{7}}{4} = 180 + \frac{15\sqrt{7}}{2}$

4. Найдём объём призмы (V). Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.
$V = S_{осн} \cdot H = \frac{15\sqrt{7}}{4} \cdot 12 = 15\sqrt{7} \cdot 3 = 45\sqrt{7}$

Ответ: Площадь основания призмы $S_{осн} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$ кв. ед., площадь боковой поверхности $S_{бок} = 180$ кв. ед., площадь полной поверхности $S_{полн} = 180 + \frac{15\sqrt{7}}{2}$ кв. ед., объём $V = 45\sqrt{7}$ куб. ед.

б) Задание: сделайте модель шестиугольной призмы (рис. 2.11, б).

Аналогично предыдущему заданию, для создания модели шестиугольной призмы нужно построить её развёртку (рис. 2.13, б) на плотной бумаге, вырезать её по контуру и склеить. Рассмотрим характеристики данной призмы.

Судя по развёртке, призма является прямой и правильной. В её основании лежит правильный шестиугольник со стороной $a=6$. Высота призмы $H=12$.

1. Найдём площадь основания призмы ($S_{осн}$). Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
$S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$
Подставим значение $a=6$:
$S_{осн} = \frac{3 \cdot 6^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 36\sqrt{3}}{2} = 3 \cdot 18\sqrt{3} = 54\sqrt{3}$

2. Найдём площадь боковой поверхности ($S_{бок}$). Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания $P$ на высоту призмы $H$.
Периметр правильного шестиугольника: $P = 6 \cdot a = 6 \cdot 6 = 36$
$S_{бок} = P \cdot H = 36 \cdot 12 = 432$

3. Найдём площадь полной поверхности ($S_{полн}$). Площадь полной поверхности равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей основания.
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 432 + 2 \cdot 54\sqrt{3} = 432 + 108\sqrt{3}$

4. Найдём объём призмы (V). Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.
$V = S_{осн} \cdot H = 54\sqrt{3} \cdot 12 = 648\sqrt{3}$

Ответ: Площадь основания призмы $S_{осн} = 54\sqrt{3}$ кв. ед., площадь боковой поверхности $S_{бок} = 432$ кв. ед., площадь полной поверхности $S_{полн} = 432 + 108\sqrt{3}$ кв. ед., объём $V = 648\sqrt{3}$ куб. ед.