ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 2.31

2.31. Существуют ли среди точек А, В, С и D точки, координаты которых простые числа (рис. 2.1), если р — простое число?

2.31

Да, если р = 3, то А(2), если р = 2, то В(3)

р + р = 2р – значит сумма делится на 2, значит C и D не существует.

Для ответа на этот вопрос определим координаты точек A, B, C и D, исходя из информации, представленной на рисунке. Пусть координата точки A равна $a$.

Согласно схеме на рисунке, координаты точек связаны следующими соотношениями:

• Координата точки B: $x_B = a + 1$
• Координата точки C: $x_C = a + p$
• Координата точки D: $x_D = x_C + p = (a + p) + p = a + 2p$

Таким образом, нам нужно выяснить, существуют ли такое число $a$ (координата точки A) и такое простое число $p$, при которых хотя бы некоторые из чисел в наборе {$a, a + 1, a + p, a + 2p$} являются простыми.

Простые числа — это натуральные числа больше 1, которые имеют ровно два различных натуральных делителя: 1 и самих себя (например, 2, 3, 5, 7, 11, ...). Для доказательства существования достаточно привести хотя бы один конкретный пример.

Рассмотрим несколько случаев, подставляя конкретные значения для $p$ и $a$. Предположим, что координата $a$ также является целым числом.

Пример 1:

Пусть простое число $p = 3$. В качестве начальной координаты $a$ выберем простое число $a = 2$.

Тогда координаты точек будут следующими:

• Координата A: $a = 2$. Число 2 является простым.
• Координата B: $a + 1 = 2 + 1 = 3$. Число 3 является простым.
• Координата C: $a + p = 2 + 3 = 5$. Число 5 является простым.
• Координата D: $a + 2p = 2 + 2 \cdot 3 = 2 + 6 = 8$. Число 8 не является простым (оно составное, так как $8 = 2 \cdot 4$).

В этом примере мы нашли, что при $a=2$ и $p=3$ координаты точек A, B и C (равные 2, 3 и 5 соответственно) являются простыми числами. Это доказывает, что такие точки существуют.

Пример 2:

Пусть простое число $p = 2$. В качестве начальной координаты $a$ выберем простое число $a = 3$.

Тогда координаты точек будут следующими:

• Координата A: $a = 3$. Число 3 является простым.
• Координата B: $a + 1 = 3 + 1 = 4$. Число 4 не является простым ($4 = 2 \cdot 2$).
• Координата C: $a + p = 3 + 2 = 5$. Число 5 является простым.
• Координата D: $a + 2p = 3 + 2 \cdot 2 = 3 + 4 = 7$. Число 7 является простым.

В этом примере при $a=3$ и $p=2$ координаты точек A, C и D (равные 3, 5 и 7) являются простыми числами. Этот пример также подтверждает существование таких точек.

Поскольку мы привели конкретные примеры, которые удовлетворяют условию задачи, мы можем дать утвердительный ответ на поставленный вопрос.

Ответ: Да, существуют. Например, если $p=3$, а координата точки A равна 2, то координаты точек A, B, и C будут равны 2, 3, и 5, которые являются простыми числами.