ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 6.69

6.69. Начертите прямоугольный треугольник MNP с прямым углом N.

а) Через вершины проведите прямые, параллельные сторонам. Обозначьте точки пересечения прямых буквами. Какой треугольник с вершинами в отмеченных точках получился?

б) Через вершины М и Р проведите прямые, перпендикулярные сторонам треугольника. Сколько прямоугольных треугольников на рисунке?

6.69

а)

АВС – прямоугольный треугольник

б)

2 прямоугольных треугольника

а) Через вершины проведите прямые, параллельные сторонам. Обозначьте точки пересечения прямых буквами. Какой треугольник с вершинами в отмеченных точках получился?

Начертим прямоугольный треугольник $MNP$ с прямым углом при вершине $N$, то есть $\angle MNP = 90^\circ$.

Далее, согласно условию, проведем через каждую вершину треугольника прямую, параллельную противолежащей стороне:

• Через вершину $M$ проведем прямую $a$, параллельную стороне $NP$ ($a \parallel NP$).
• Через вершину $P$ проведем прямую $b$, параллельную стороне $MN$ ($b \parallel MN$).
• Через вершину $N$ проведем прямую $c$, параллельную стороне $MP$ ($c \parallel MP$).

Обозначим точки пересечения этих прямых, например, буквами $A$, $B$ и $C$:

• $A$ — точка пересечения прямых $b$ и $c$.
• $B$ — точка пересечения прямых $a$ и $c$.
• $C$ — точка пересечения прямых $a$ и $b$.

В результате этих построений образовался новый треугольник $ABC$. Определим его вид.

Рассмотрим четырехугольник $MCNP$. По построению, его противоположные стороны лежат на параллельных прямых: $MC \parallel NP$ (так как $MC$ является частью прямой $a$) и $PC \parallel MN$ (так как $PC$ является частью прямой $b$). Следовательно, $MCNP$ — параллелограмм.

Поскольку в исходном треугольнике угол $\angle MNP = 90^\circ$, то параллелограмм $MCNP$ является прямоугольником. Из этого следует, что все его углы прямые, в том числе и угол $\angle MCP$, который является углом $\angle C$ нового треугольника $ABC$. Таким образом, $\angle C = 90^\circ$.

Полученный треугольник $ABC$ является прямоугольным.

Более того, можно доказать, что вершины исходного треугольника $M, N, P$ являются серединами сторон нового треугольника $ABC$. Например, из того, что $MCNP$ — прямоугольник, следует $PC=MN$. Рассматривая параллелограмм $AMNP$ (образованный прямыми $b, c$ и сторонами $MN, MP$), получаем, что $AP=MN$. Так как точки $A, P, C$ лежат на одной прямой $b$, то $AC = AP + PC = MN + MN = 2MN$, и точка $P$ является серединой стороны $AC$. Аналогично доказывается, что $M$ — середина $BC$, и $N$ — середина $AB$.

Ответ: Получился прямоугольный треугольник, подобный исходному.

б) Через вершины M и P проведите прямые, перпендикулярные сторонам треугольника. Сколько прямоугольных треугольников на рисунке?

Начнем с того же прямоугольного треугольника $MNP$ с $\angle N = 90^\circ$. Условие "проведите прямые, перпендикулярные сторонам" можно истолковать как построение перпендикуляров из вершин $M$ и $P$ к гипотенузе $MP$ (единственной стороне, которая является общей для этих двух вершин).

Выполним следующие построения:

• Проведем прямую $l_M$ через вершину $M$ так, что $l_M \perp MP$.
• Проведем прямую $l_P$ через вершину $P$ так, что $l_P \perp MP$.

Прямые $l_M$ и $l_P$ параллельны друг другу. Найдем их точки пересечения с прямыми, на которых лежат катеты $MN$ и $NP$.

• Пусть $S$ — точка пересечения прямой $l_M$ с прямой, содержащей катет $PN$.
• Пусть $R$ — точка пересечения прямой $l_P$ с прямой, содержащей катет $MN$.

Теперь systematically посчитаем все прямоугольные треугольники, которые присутствуют на получившемся чертеже.

1. $\triangle MNP$: является прямоугольным по условию задачи ($\angle N = 90^\circ$).
2. $\triangle MPS$: является прямоугольным по построению, так как прямая $l_M$ (на которой лежит сторона $MS$) перпендикулярна стороне $MP$ ($\angle PMS = 90^\circ$).
3. $\triangle MPR$: является прямоугольным по построению, так как прямая $l_P$ (на которой лежит сторона $PR$) перпендикулярна стороне $MP$ ($\angle MPR = 90^\circ$).
4. $\triangle MNS$: является прямоугольным. Точка $S$ лежит на прямой $PN$. Так как катет $MN$ перпендикулярен катету $PN$, то он перпендикулярен и всей прямой $PN$, а значит $MN \perp SN$. Следовательно, $\angle MNS = 90^\circ$.
5. $\triangle PNR$: является прямоугольным. Точка $R$ лежит на прямой $MN$. Так как катет $PN$ перпендикулярен катету $MN$, то он перпендикулярен и всей прямой $MN$, а значит $PN \perp RN$. Следовательно, $\angle PNR = 90^\circ$.

Таким образом, на рисунке можно выделить 5 различных прямоугольных треугольников.

Ответ: 5.