ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 6.68

6.68. Развивай мышление. Вычислите наиболее простым способом:

11 · 2 + 12 · 3 + 13 · 4 + 14 · 5 + 15 · 6 + 16 · 7 + 17 · 8 + 18 · 9 + 19 · 10.

6.68

$\frac{1}{1 · 2} + \frac{1}{2 · 3} + \frac{1}{3 · 4} + \frac{1}{4 · 5} + \frac{1}{5 · 6} ++ \frac{1}{6 · 7} + \frac{1}{7 · 8} + \frac{1}{8 · 9} + \frac{1}{9 · 10} = = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) ++ \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{7}\right) ++ \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{8} - \frac{1}{9}\right) + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{10}\right) == 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} ++ \frac{1}{5} - \frac{1}{6}+ \frac{1}{6} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} -- \frac{1}{10} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$

Для вычисления данной суммы наиболее простым способом заметим, что каждое слагаемое вида $\frac{1}{n(n+1)}$ можно представить в виде разности двух дробей. Это свойство называется разложением на простейшие дроби.

Общая формула для такого разложения выглядит так:

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

Давайте проверим это равенство, приведя дроби в правой части к общему знаменателю:

$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1 \cdot (n+1)}{n(n+1)} - \frac{1 \cdot n}{n(n+1)} = \frac{n+1-n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$

Равенство подтвердилось. Теперь применим эту формулу к каждому слагаемому в исходном выражении:

$\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$

...и так далее до последнего слагаемого...

$\frac{1}{9 \cdot 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$

Теперь запишем всю сумму в разложенном виде:

$S = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) + (\frac{1}{6} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{9}) + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10})$

В этой сумме все промежуточные члены взаимно уничтожаются: $-\frac{1}{2}$ сокращается с $+\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{3}$ с $+\frac{1}{3}$ и так далее. Такая сумма называется телескопической.

В результате остаются только первый и последний члены:

$S = \frac{1}{1} - \frac{1}{10}$

Осталось только вычислить разность:

$1 - \frac{1}{10} = \frac{10}{10} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$

Ответ: $\frac{9}{10}$.