ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 6.64

6.64. Каким должен быть х, чтобы:
а) х > х²;
б) х² > х³;
в) х < х²;
г) х² < х³;
д) х² = х³?

6.64

а) х > х² при 0 < x < 1

б) х² > х³ при x < 0 и 0 < x < 1

в) х < х² при x < 0 и х > 1

г) х² < х³ при x > 1

д) х² = х³ при х = 0 и х = 1

а) Чтобы решить неравенство $x > x^2$, перенесем все члены в одну сторону:

$x - x^2 > 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(1 - x) > 0$

Это квадратичное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $x(1 - x) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Графиком функции $y = x - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный). Следовательно, функция принимает положительные значения между корнями.

Таким образом, решение неравенства — это интервал $0 < x < 1$.

Ответ: $x \in (0, 1)$.

б) Чтобы решить неравенство $x^2 > x^3$, перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - x^3 > 0$

Вынесем $x^2$ за скобки:

$x^2(1 - x) > 0$

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$). Чтобы произведение было строго больше нуля, оба множителя должны быть положительными, и ни один не должен быть равен нулю. Значит, нам нужна система условий:

$\begin{cases} x^2 > 0 \\ 1 - x > 0\end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \neq 0$. Из второго неравенства получаем $x < 1$. Объединяя эти два условия, получаем, что $x$ должен быть меньше 1, но не равен 0.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1)$.

в) Чтобы решить неравенство $x < x^2$, перенесем все члены в одну сторону:

$x - x^2 < 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(1 - x) < 0$

Это неравенство противоположно тому, что было в пункте а). Корни уравнения $x(1 - x) = 0$ те же: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Парабола $y = x - x^2$ с ветвями вниз принимает отрицательные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, решение — это объединение двух интервалов: $x < 0$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

г) Чтобы решить неравенство $x^2 < x^3$, перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - x^3 < 0$

Вынесем $x^2$ за скобки:

$x^2(1 - x) < 0$

Это неравенство противоположно тому, что было в пункте б). Поскольку множитель $x^2$ всегда неотрицателен, для выполнения неравенства он должен быть строго положителен ($x^2>0$, то есть $x \neq 0$), а второй множитель должен быть отрицательным.

Получаем систему условий:

$\begin{cases} x^2 > 0 \\ 1 - x < 0\end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \neq 0$. Из второго неравенства получаем $1 < x$, или $x > 1$. Оба условия выполняются одновременно при $x > 1$.

Ответ: $x \in (1, \infty)$.

д) Чтобы решить уравнение $x^2 = x^3$, перенесем все члены в одну сторону:

$x^3 - x^2 = 0$

Вынесем $x^2$ за скобки:

$x^2(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, либо $x^2 = 0$, либо $x - 1 = 0$.

Из $x^2 = 0$ получаем $x = 0$. Из $x - 1 = 0$ получаем $x = 1$. Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x=0$ или $x=1$.