ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 6.37

6.37. Развивай мышление. Найдите длину цепи из сорока звеньев в натянутом состоянии (рис. 6.16). Размеры даны в миллиметрах.

6.37

Возьмём 40 раз по 20 мм (длина каждого звена) и 2 раза по 5 мм (толщина начала и конца каждого звена).

$20 · 40 + 5 · 2 = 800 + 10 = 810 \left(\mathrm{мм}\right) = 81 \left(\mathrm{см}\right)$ – длина цепи

Ответ: 81 см

Для того чтобы найти длину цепи из сорока звеньев в натянутом состоянии, необходимо проанализировать размеры одного звена и способ их соединения. Из рисунка мы имеем следующие данные:

• Общее количество звеньев в цепи, $N = 40$.
• Внешняя длина (или высота) одного звена, $L_{звена} = 20$ мм.
• Толщина материала, из которого изготовлено звено, $d = 5$ мм.

Когда цепь натянута, общая длина определяется суммой длин, которые добавляет каждое звено. Существует два логичных способа расчета.

Способ 1: Расчет на основе приращения длины

Мы можем представить процесс сборки цепи по одному звену. Первое звено определяет начальную длину, которая равна его полной внешней длине, то есть $20$ мм. Каждое последующее звено, проходя через предыдущее, увеличивает общую длину цепи. Величина этого увеличения равна внутреннему продольному размеру звена, который можно рассчитать, вычтя из внешней длины толщину материала с обеих сторон (сверху и снизу).

Внутренняя длина звена, которая определяет шаг цепи, равна:$L_{внутр} = L_{звена} - 2 \times d = 20 \text{ мм} - 2 \times 5 \text{ мм} = 10$ мм.

Таким образом, общая длина цепи состоит из полной длины первого звена и длин, добавляемых остальными $N-1 = 39$ звеньями.Общая длина цепи ($L_{цепи}$) вычисляется по формуле:

$L_{цепи} = L_{звена} + (N - 1) \times L_{внутр}$

Подставляем наши значения:

$L_{цепи} = 20 + (40 - 1) \times 10 = 20 + 39 \times 10 = 20 + 390 = 410$ мм.

Способ 2: Расчет через вычитание "перекрытий"

Другой подход — представить, что все $40$ звеньев выложены в ряд без соединения. Их суммарная длина была бы:

$L_{общая} = N \times L_{звена} = 40 \times 20 = 800$ мм.

При соединении звеньев в цепь возникают "перекрытия", которые уменьшают общую длину. В цепи из $N$ звеньев имеется $N-1=39$ мест соединения. В каждом таком месте одно звено проходит через другое, и общая длина уменьшается на толщину материала первого звена и толщину материала второго звена. Таким образом, уменьшение длины на одно соединение составляет:

$2 \times d = 2 \times 5 = 10$ мм.

Общее уменьшение длины для всех 39 соединений будет:

$39 \times 10 \text{ мм} = 390$ мм.

Теперь вычтем общее уменьшение из суммарной длины несоединенных звеньев, чтобы найти итоговую длину натянутой цепи:

$L_{цепи} = L_{общая} - (N - 1) \times 2d = 800 - 390 = 410$ мм.

Оба метода приводят к одному и тому же результату, что подтверждает верность рассуждений.

Ответ: 410 мм.