ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 4.387

4.387. Развивай мышление. Ответьте на вопросы, используя графы.

а) Пять посёлков – Воробьёве, Горбово, Павлово, Михайлово и Иваново – соединены дорогами, как показано на рисунке 4.48, а. Какой посёлок соединён с каким? (Дорога – это ребро графа.)

б) В спортивном зале собрались Витя, Ира, Петя, Галя и Максим (рис. 4.48, б). Оказалось, что каждый из детей знаком только с двумя другими. Кто с кем знаком? (Ребро графа означает «мы знакомы».)

в) Можно ли использовать граф решения задачи а) для решения задачи б)?

г) Составьте ещё задачу, которая решалась бы с помощью графов на рисунке 4.48, а, б.

д) В концерте участвовали четверо шестиклассников, которые пели и играли на музыкальных инструментах. Кто из них пел, а кто играл (рис. 4.48, в)? (Красные рёбра графа исходят от певцов, а синие – от их аккомпаниаторов.)

4.387

а) Воробьево - с Горбово и Иваново
Горбово - с Воробьево и Павлово
Павлово - с Горбово и Михайлово
Михайлово - с Павлово и Иваново
Иваново - с Воробьево и Михайлово

б) Витя - с Ирой и Галей
Галя - с Витей и Петей
Петя - с Галей и Максимом
Максим - с Петей и Ирой
Ира - с Витей и Максимом

в) да, т.к. у них одинаковое количество вершин и ребер графа и одинаковое расположение ребер графа

г) Каждый из пяти друзей – Коля, Саша, Оля, Таня и Сергей брал книги для чтения только у двух других друзей. Кто у кого брал книги?

д) А – пел, Б – играл, В – пел, Г – играл

а) В данной задаче вершины графа обозначают посёлки, а рёбра (линии) — соединяющие их дороги. Чтобы определить, какой посёлок с каким соединён, нужно проанализировать рёбра на рисунке 4.48, а.

Из графа видно, что:

- Посёлок Воробьёво (В) соединён дорогами с Горбово (Г) и Иваново (И).
- Посёлок Горбово (Г) соединён с Воробьёво (В) и Павлово (П).
- Посёлок Павлово (П) соединён с Горбово (Г) и Михайлово (М).
- Посёлок Михайлово (М) соединён с Павлово (П) и Иваново (И).
- Посёлок Иваново (И) соединён с Михайлово (М) и Воробьёво (В).

Ответ: Воробьёво соединено с Горбово и Иваново; Горбово — с Воробьёво и Павлово; Павлово — с Горбово и Михайлово; Михайлово — с Павлово и Иваново; Иваново — с Михайлово и Воробьёво.

б) В этой задаче вершины графа — это дети, а рёбра означают, что они знакомы друг с другом. Граф на рисунке 4.48, б показывает эти знакомства. В условии сказано, что каждый из детей знаком только с двумя другими, что соответствует тому, что из каждой вершины графа выходят ровно два ребра.

Проанализируем связи:

- Витя (В) знаком с Галей (Г) и Ирой (И).
- Галя (Г) знакома с Витей (В) и Петей (П).
- Петя (П) знаком с Галей (Г) и Максимом (М).
- Максим (М) знаком с Петей (П) и Ирой (И).
- Ира (И) знакома с Максимом (М) и Витей (В).

Ответ: Витя знаком с Галей и Ирой; Галя — с Витей и Петей; Петя — с Галей и Максимом; Максим — с Петей и Ирой; Ира — с Максимом и Витей.

в) Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо сравнить графы на рисунках 4.48, а и 4.48, б. Оба графа имеют по 5 вершин, обозначенных одинаковыми буквами (В, Г, П, М, И). Проверим связи между вершинами:

- В графе 'а' существуют рёбра: (В, Г), (Г, П), (П, М), (М, И), (И, В).
- В графе 'б' существуют рёбра: (В, Г), (Г, П), (П, М), (М, И), (И, В).

Несмотря на то, что графы нарисованы по-разному, они имеют одинаковое количество вершин и одинаковые связи между ними. В теории графов такие графы называются изоморфными. Это означает, что они описывают одну и ту же структурную схему. Следовательно, граф из задачи 'а' можно использовать для решения задачи 'б', так как меняется только интерпретация вершин (посёлки или дети) и рёбер (дороги или знакомства), а сама схема связей остаётся неизменной.

Ответ: Да, можно, так как графы в задачах а) и б) имеют одинаковую структуру (изоморфны).

г) Графы на рисунках 'а' и 'б' представляют собой цикл из 5 вершин, где каждая вершина связана ровно с двумя другими. Можно придумать множество задач, которые описываются такой моделью. Например:

Пять друзей сидят за круглым столом. Каждый сидит между двумя другими. Как они расположены?

В этой задаче вершины графа будут представлять друзей, а рёбра — тот факт, что они сидят рядом. Граф будет идентичен представленным на рисунках.

Ответ: Пример задачи: Пять спортивных команд играют в турнире по круговой системе, где каждая команда играет только с двумя "соседними" по расписанию командами. Кто с кем играет?

д) В данной задаче нужно определить, кто из четырёх шестиклассников (А, Б, В, Г) пел, а кто играл на музыкальных инструментах (аккомпанировал), используя ориентированный граф на рисунке 4.48, в.

По условию, красные рёбра исходят от певцов, а синие — от аккомпаниаторов. Это означает, что для определения роли каждого участника нужно посмотреть на цвет рёбер, которые начинаются в соответствующей вершине (то есть на исходящие рёбра).

- Вершина А: все исходящие рёбра (направленные к Б, В, Г) — красные. Следовательно, участник А является певцом.
- Вершина Б: все исходящие рёбра (направленные к А, В, Г) — синие. Следовательно, участник Б является аккомпаниатором.
- Вершина В: все исходящие рёбра (направленные к А, Б, Г) — красные. Следовательно, участник В является певцом.
- Вершина Г: все исходящие рёбра (направленные к А, Б, В) — синие. Следовательно, участник Г является аккомпаниатором.

Таким образом, в концерте участвовали два певца (А и В) и два аккомпаниатора (Б и Г).

Ответ: Пели участники А и В. Играли на инструментах (аккомпанировали) участники Б и Г.