ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 4.361

4.361. Справедливо ли равенство:

а) 0,777... = 79; б) 0,208(3) = 524?

4.361

$\mathbf{а}\mathbf{)} 0,777\dots = \frac{7}{9} – \mathrm{верно}$

$\mathbf{б}\mathbf{)} 0,208(3) = \frac{5}{24} – \mathrm{верно}$

а)

Чтобы проверить, справедливо ли равенство $0,777... = \frac{7}{9}$, необходимо преобразовать бесконечную периодическую десятичную дробь $0,777...$ в обыкновенную дробь.
1. Обозначим число через $x$:
$x = 0,777...$
2. Поскольку в периоде дроби одна цифра (7), умножим обе части этого равенства на 10, чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо:
$10x = 7,777...$
3. Теперь вычтем из второго равенства первое. Это позволит избавиться от бесконечной дробной части:
$10x - x = 7,777... - 0,777...$
$9x = 7$
4. Найдем $x$:
$x = \frac{7}{9}$
В результате преобразования мы получили, что $0,777...$ равно $\frac{7}{9}$. Следовательно, равенство справедливо.

Ответ: равенство справедливо.

б)

Чтобы проверить, справедливо ли равенство $0,208(3) = \frac{5}{24}$, преобразуем смешанную периодическую дробь $0,208(3)$, которая равна $0,208333...$, в обыкновенную дробь.
1. Обозначим число через $x$:
$x = 0,208333...$
2. Умножим обе части равенства на 1000, чтобы непериодическая часть (208) оказалась слева от запятой:
$1000x = 208,333...$
3. Теперь умножим исходное равенство на 10000, чтобы сдвинуть запятую так, чтобы слева от нее оказалась непериодическая часть вместе с одной цифрой периода:
$10000x = 2083,333...$
4. Вычтем из второго полученного равенства первое, чтобы убрать периодическую часть:
$10000x - 1000x = 2083,333... - 208,333...$
$9000x = 1875$
5. Найдем $x$ и сократим полученную дробь:
$x = \frac{1875}{9000}$
Сократим дробь, последовательно деля числитель и знаменатель на общие делители. Наибольший общий делитель для 1875 и 9000 это 375.
$x = \frac{1875 \div 375}{9000 \div 375} = \frac{5}{24}$
Можно также сокращать пошагово:
$\frac{1875}{9000} = \frac{1875 \div 25}{9000 \div 25} = \frac{75}{360} = \frac{75 \div 15}{360 \div 15} = \frac{5}{24}$
В результате преобразования мы получили, что $0,208(3)$ равно $\frac{5}{24}$. Следовательно, равенство справедливо.

Ответ: равенство справедливо.