ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 3.137

3.137. На рисунке 3.34 изображена шахматная доска. Есть ли у поля шахматной доски оси симметрии; центр симметрии?

3.137

У шахматной доски 4 оси симметрии, т.к. она является квадратом.

Центр симметрии находится в точке пересечения диагоналей.

Рассмотрим симметрию игрового поля стандартной шахматной доски размером 8x8 клеток с учетом ее расцветки.

Есть ли у поля шахматной доски оси симметрии

Ось симметрии — это прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. Для шахматной доски необходимо, чтобы совпадала не только форма, но и расцветка клеток.

1. Горизонтальная и вертикальная оси. Прямые, проходящие через середину доски параллельно ее сторонам, не являются осями симметрии. При отражении относительно этих линий клетки одного цвета переходят в клетки другого цвета. Например, при отражении относительно горизонтальной средней линии, проходящей между 4-й и 5-й горизонталями, белая клетка перейдет в черную, а черная — в белую.

2. Диагональные оси. Две главные диагонали доски являются осями симметрии. Чтобы это доказать, пронумеруем строки и столбцы от 1 до 8. Цвет клетки с координатами $(i, j)$ зависит от четности суммы $i+j$.

• При отражении относительно первой главной диагонали клетка $(i, j)$ переходит в клетку $(j, i)$. Так как суммы $i+j$ и $j+i$ имеют одинаковую четность, цвета клеток совпадают.
• При отражении относительно второй главной диагонали клетка $(i, j)$ переходит в клетку $(9-j, 9-i)$. Сумма координат новой клетки $(9-j)+(9-i) = 18-(i+j)$ имеет ту же четность, что и сумма $i+j$. Следовательно, цвета клеток также совпадают.

Ответ: да, у поля шахматной доски есть две оси симметрии — это ее главные диагонали.

Есть ли у поля шахматной доски центр симметрии

Центр симметрии — это точка, при повороте на $180^\circ$ вокруг которой фигура переходит сама в себя. Для шахматной доски такой точкой является ее геометрический центр — точка пересечения диагоналей.

При повороте на $180^\circ$ вокруг центра доски клетка с координатами $(i, j)$ переходит в клетку с координатами $(9-i, 9-j)$. Как было показано в предыдущем пункте, суммы координат $i+j$ и $(9-i)+(9-j)$ имеют одинаковую четность. Это значит, что любая клетка при таком повороте переходит в клетку того же цвета, и вся доска (с ее расцветкой) переходит в саму себя.

Ответ: да, у поля шахматной доски есть центр симметрии — это ее геометрический центр (точка пересечения диагоналей).