ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 2.86

2.86. Найдите наибольший общий делитель чисел:

а) 975 и 750
б) 572 и 440;.
в) 80, 140 и 56;
г) 170, 306 и 255.

2.86

а)

$975 = \overline{)3} ·\overline{) 5} · \overline{)5 }· 13750 =2 · \overline{)3} ·\overline{) 5} · \overline{)5 }· 5\mathrm{НОД} (975; 750) = 3 · 5 · 5 = 75$

б)

$572 = \overline{)2} ·\overline{) 2} · \overline{)11} · 13 440 = \overline{)2} ·\overline{) 2} · 2 · 5 · \overline{)11} \mathrm{НОД} (572; 440) = 2 · 2 · 11 = 44$

в)

$80 = \overline{)2} · \overline{)2} · 2 · 2 · 5 140 = \overline{)2} · \overline{)2} · 5 · 756 =\overline{)2} · \overline{)2} ·2 · 7\mathrm{НОД} (80; 140; 56) = 2 · 2 =4$

г)

$170 = 2 · 5 · \overline{)17}306 = 2 · 3 · 3 · \overline{)17}255 = 3 · 5 · \overline{)17}\mathrm{НОД} (170; 306; 255) = 17$

а) 975 и 750;
Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел, разложим их на простые множители. Это основной метод для нахождения НОД.
Разложим число 975 на простые множители:
$975 = 5 \cdot 195 = 5 \cdot 5 \cdot 39 = 3 \cdot 5^2 \cdot 13$
Разложим число 750 на простые множители:
$750 = 10 \cdot 75 = (2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 25) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5^2 = 2 \cdot 3 \cdot 5^3$
Теперь найдем произведение общих простых множителей, взяв каждый из них с наименьшим показателем степени, с которым он входит в оба разложения. Общими множителями являются $3$ и $5$. Наименьшая степень для $3$ - это $3^1$, а для $5$ - это $5^2$.
НОД(975, 750) = $3^1 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$.
Ответ: 75.

б) 572 и 440;
Разложим данные числа на простые множители.
Разложение числа 572:
$572 = 2 \cdot 286 = 2 \cdot 2 \cdot 143 = 2^2 \cdot 11 \cdot 13$
Разложение числа 440:
$440 = 10 \cdot 44 = (2 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 11) = 2 \cdot 5 \cdot 2^2 \cdot 11 = 2^3 \cdot 5 \cdot 11$
Общими простыми множителями являются $2$ и $11$. Возьмем их в наименьших степенях, встречающихся в разложениях: $2^2$ и $11^1$.
НОД(572, 440) = $2^2 \cdot 11 = 4 \cdot 11 = 44$.
Ответ: 44.

в) 80, 140 и 56;
Разложим на простые множители все три числа.
Разложение числа 80:
$80 = 8 \cdot 10 = 2^3 \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 5$
Разложение числа 140:
$140 = 14 \cdot 10 = (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$
Разложение числа 56:
$56 = 8 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$
Единственным общим простым множителем для всех трех чисел является $2$. Наименьшая степень, в которой множитель $2$ входит во все три разложения, это $2^2$ (из разложения числа 140).
НОД(80, 140, 56) = $2^2 = 4$.
Ответ: 4.

г) 170, 306 и 255.
Разложим на простые множители все три числа.
Разложение числа 170:
$170 = 10 \cdot 17 = 2 \cdot 5 \cdot 17$
Разложение числа 306:
$306 = 2 \cdot 153 = 2 \cdot 9 \cdot 17 = 2 \cdot 3^2 \cdot 17$
Разложение числа 255:
$255 = 5 \cdot 51 = 5 \cdot 3 \cdot 17$
Чтобы найти НОД, нужно найти общие простые множители. Сравнив разложения, видим, что единственным общим множителем для всех трех чисел является $17$.
НОД(170, 306, 255) = $17$.
Ответ: 17.