ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 2.45

2.45. Развивай воображение. Найдите кратчайший путь на поверхности куба (рис. 2.2) из точки К в точку L:

а) который проходит через точку М;

б) который пересекает все горизонтальные рёбра куба, кроме ребра KL.

2.45

а)

б)

Для решения задачи введем обозначение: пусть длина ребра куба равна $a$.

Кратчайший путь из точки K в точку L, проходящий через точку M, состоит из двух отрезков: кратчайшего пути от K до M и кратчайшего пути от M до L. Найдем длины этих путей по отдельности.

Для нахождения кратчайшего пути по поверхности куба используется метод развертки. Грани куба, через которые проходит путь, разворачиваются в одну плоскость, и кратчайшим путем становится прямая, соединяющая начальную и конечную точки на этой развертке.

1. Кратчайший путь из K в M.

Точки K и M являются противоположными вершинами на левой грани куба. Развернем эту грань. Путь KM на поверхности куба – это диагональ квадрата (левой грани). Если ребро куба равно $a$, то длина этой диагонали по теореме Пифагора равна:

$d_{KM} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

2. Кратчайший путь из M в L.

Точки M и L являются пространственно-диагональными вершинами куба (M – левая задняя верхняя, L – правая передняя нижняя). Чтобы найти кратчайший путь по поверхности, развернем две смежные грани, например, верхнюю и переднюю.

Представим переднюю грань в виде квадрата со стороной $a$. На ней находится точка L. Примыкая к верхней стороне этого квадрата, расположим верхнюю грань. Точка M окажется на этой развертке. В результате мы получим прямоугольник размером $a \times 2a$. Точки M и L на этой развертке будут находиться в противоположных углах этого прямоугольника. Кратчайший путь между ними – это диагональ этого прямоугольника.

Длина этой диагонали по теореме Пифагора:

$d_{ML} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$

3. Общая длина пути.

Суммарная длина кратчайшего пути из K в L через M равна сумме длин найденных отрезков:

$D = d_{KM} + d_{ML} = a\sqrt{2} + a\sqrt{5} = a(\sqrt{2} + \sqrt{5})$

Ответ: Длина пути равна $a(\sqrt{2} + \sqrt{5})$, где $a$ – длина ребра куба.

Горизонтальными являются ребра верхней и нижней граней куба. Всего их 8. Путь должен пересечь 7 из них (все, кроме ребра KL, на котором лежат начальная и конечная точки).

Кратчайший путь на поверхности многогранника всегда является прямой линией на одной из его разверток. Задача состоит в том, чтобы найти такую развертку, на которой прямая, соединяющая K и L, будет пересекать все необходимые ребра.

Чтобы путь пересек горизонтальные ребра на всех четырех боковых гранях (левой, правой, задней) и на верхней грани, он должен "обернуться" вокруг куба. Этого можно достичь, сделав развертку нескольких граней куба в один большой прямоугольник.

Рассмотрим развертку, состоящую из четырех боковых граней, выстроенных в ряд (например, Передняя - Правая - Задняя - Левая), и примыкающих к ним сверху и снизу разверток верхней и нижней граней. Такая сложная развертка показывает, что путь должен совершить как минимум один оборот по вертикали и один по горизонтали.

Для того чтобы прямая на развертке пересекла все требуемые ребра, необходимо составить развертку из нескольких "копий" граней куба. Оказывается, что кратчайший путь соответствует диагонали прямоугольника, составленного из 12 квадратов-граней, уложенных в сетку 3x4.

Представим развертку, где по горизонтали отложены 4 грани, а по вертикали – 3. Начальная точка K находится в одном углу этого прямоугольника размером $4a \times 3a$, а конечная точка L (вернее, ее образ на этой сложной развертке) – в противоположном углу. Однако, поскольку L смещена относительно K на одно ребро, то и на развертке конечная точка будет смещена. Наиболее оптимальным является путь, который на развертке соответствует гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами $3a$ и $4a$.

Длина такого пути вычисляется по теореме Пифагора:

$D = \sqrt{(3a)^2 + (4a)^2} = \sqrt{9a^2 + 16a^2} = \sqrt{25a^2} = 5a$

Такой путь совершает один полный оборот вокруг оси, проходящей через центры боковых граней, и три четверти оборота вокруг оси, проходящей через центры верхней и нижней граней, что обеспечивает пересечение всех необходимых ребер.

Ответ: Длина пути равна $5a$, где $a$ – длина ребра куба.