ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 2.293

2.293. Сколько кодовых слов из четырёх букв можно составить, используя буквы А, В, С, D, R и V? Сколько можно составить слов, в которых буквы не повторяются?

2.293

Если буквы могут повторяться: 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1296 кодовых слов.

Если буквы не могут повторяться:

1- ое место: любая из 6;

2 – ое место – любая из 5;

3 – е место - любая из 4;

4 – ое место – любая из 3.

Значит, 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 360 кодовых слов можно составить.

Ответ: 1296 слов; 360 слов.

Сколько кодовых слов из четырёх букв можно составить, используя буквы A, B, C, D, R и V?

Для решения этой задачи мы имеем алфавит из 6 различных букв: A, B, C, D, R, V. Нам нужно составить из них кодовые слова длиной в 4 буквы.

В этой части вопроса не указано, что буквы не должны повторяться. Следовательно, мы предполагаем, что повторения разрешены. Это означает, что для каждой из четырёх позиций в слове мы можем выбрать любую из 6 доступных букв. Такие комбинации в комбинаторике называются размещениями с повторениями.

Рассуждаем следующим образом: на первую позицию можно поставить любую из 6 букв; на вторую позицию также можно поставить любую из 6 букв; на третью позицию — любую из 6 букв; на четвертую позицию — любую из 6 букв.

Общее количество возможных кодовых слов находится по правилу произведения. Формула для числа размещений с повторениями из $n$ элементов по $k$ местам: $N = n^k$.

В нашем случае количество элементов $n = 6$ (буквы A, B, C, D, R, V), а длина слова $k = 4$.

Подставляем значения в формулу: $N = 6^4 = 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 1296$.

Ответ: 1296.

Сколько можно составить слов, в которых буквы не повторяются?

Во второй части задачи требуется найти количество четырёхбуквенных слов, в которых все буквы различны. Это означает, что каждая буква из нашего алфавита (A, B, C, D, R, V) может быть использована в слове не более одного раза. Это задача на нахождение числа размещений без повторений.

Рассуждаем следующим образом:

Для первой позиции в слове мы можем выбрать любую из 6 букв. Для второй позиции остаётся $6 - 1 = 5$ букв, так как одна буква уже использована на первой позиции. Для третьей позиции остаётся $5 - 1 = 4$ буквы, так как две буквы уже использованы. Для четвёртой позиции остаётся $4 - 1 = 3$ буквы.

Общее количество таких слов находим, перемножая число вариантов для каждой позиции: $N = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$.

Это соответствует формуле для числа размещений без повторений из $n$ по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

При $n=6$ и $k=4$ получаем: $A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$.

Ответ: 360.