ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 2.16

2.16. Напишите все двузначные числа, в разложении которых два различных простых множителя и один из них равен:

а) 7; б) 19; в) 29; г) 43.

2.16

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }14 = 7 · 221 = 7 · 335 = 7 · 577 = 7 · 1191 = 7 · 13$ $\mathit{б}\mathbf{)} 38 = 19 · 257 = 19 · 395 = 19 · 5$ $\mathit{в}\mathbf{)} 58 = 29 · 287 = 29 · 3$ $\mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }86 = 43 · 2$

а) 7; Искомые числа $N$ должны быть двузначными, то есть $10 \le N \le 99$. По условию, в разложении числа $N$ на простые множители должно быть ровно два различных простых множителя. Один из этих множителей равен 7. Обозначим второй простой множитель как $p$. Таким образом, число $N$ должно иметь вид $N = 7^k \cdot p^m$, где $p$ — простое число, $p \ne 7$, а $k$ и $m$ — натуральные числа ($k \ge 1, m \ge 1$).
Переберем возможные значения $p$, $k$ и $m$.
1. Пусть $k=1$ и $m=1$. Тогда $N = 7 \cdot p$.
Из условия $10 \le 7p \le 99$ следует, что $\frac{10}{7} \le p \le \frac{99}{7}$, или примерно $1.43 \le p \le 14.14$. Простые числа $p$ в этом интервале, не равные 7, это: 2, 3, 5, 11, 13.
- При $p=2$, $N = 7 \cdot 2 = 14$. - При $p=3$, $N = 7 \cdot 3 = 21$. - При $p=5$, $N = 7 \cdot 5 = 35$. - При $p=11$, $N = 7 \cdot 11 = 77$. - При $p=13$, $N = 7 \cdot 13 = 91$.
2. Рассмотрим случаи, когда степени $k$ или $m$ больше 1.
- Если $k=2$, то $N = 7^2 \cdot p^m = 49 \cdot p^m$. Из $10 \le 49 \cdot p^m \le 99$ следует $p^m \le \frac{99}{49} \approx 2.02$. Единственный вариант — $p=2$ и $m=1$. Тогда $N = 49 \cdot 2 = 98$. Если $k \ge 3$, то $7^3 = 343 > 99$, решений нет.
- Если $k=1$, а $m \ge 2$, то $N=7 \cdot p^m$. Из $10 \le 7 \cdot p^m \le 99$ следует $p^m \le \frac{99}{7} \approx 14.14$.
При $p=2$: $2^2=4$ (подходит, $N=7 \cdot 4=28$), $2^3=8$ (подходит, $N=7 \cdot 8=56$), $2^4=16$ (не подходит).
При $p=3$: $3^2=9$ (подходит, $N=7 \cdot 9=63$), $3^3=27$ (не подходит).
При $p \ge 5$: $5^2=25$ (не подходит).
Собрав все найденные числа, получаем итоговый список.
Ответ: 14, 21, 28, 35, 56, 63, 77, 91, 98.

б) 19; Ищем двузначные числа $N$ вида $N = 19^k \cdot p^m$, где $p$ - простое число, $p \ne 19$, и $k,m \ge 1$.
1. При $k=1, m=1$, имеем $N=19 \cdot p$.
Из условия $10 \le 19p \le 99$ получаем $\frac{10}{19} \le p \le \frac{99}{19}$, или $0.53 \le p \le 5.21$. Простые числа $p$ в этом диапазоне: 2, 3, 5.
- При $p=2$, $N = 19 \cdot 2 = 38$. - При $p=3$, $N = 19 \cdot 3 = 57$. - При $p=5$, $N = 19 \cdot 5 = 95$.
2. Рассмотрим степени больше 1.
- Если $k \ge 2$, то $19^2 = 361 > 99$, решений нет.
- Если $k=1, m \ge 2$, то $N = 19 \cdot p^m$. Из $10 \le 19p^m \le 99$ получаем $p^m \le \frac{99}{19} \approx 5.21$.
При $p=2$: $2^2=4$ (подходит, $N=19 \cdot 4 = 76$), $2^3=8$ (не подходит).
При $p \ge 3$: $3^2=9$ (не подходит).
Ответ: 38, 57, 76, 95.

в) 29; Ищем двузначные числа $N$ вида $N = 29^k \cdot p^m$, где $p$ - простое число, $p \ne 29$, и $k,m \ge 1$.
1. При $k=1, m=1$, имеем $N=29 \cdot p$.
Из условия $10 \le 29p \le 99$ получаем $\frac{10}{29} \le p \le \frac{99}{29}$, или $0.34 \le p \le 3.41$. Простые числа $p$ в этом диапазоне: 2, 3.
- При $p=2$, $N = 29 \cdot 2 = 58$. - При $p=3$, $N = 29 \cdot 3 = 87$.
2. Рассмотрим степени больше 1.
- Если $k \ge 2$, то $29^2 = 841 > 99$, решений нет.
- Если $k=1, m \ge 2$, то $N = 29 \cdot p^m$. Из $10 \le 29p^m \le 99$ получаем $p^m \le \frac{99}{29} \approx 3.41$. Наименьшее возможное значение $p^m$ (при $p=2, m=2$) это $2^2=4$, что уже больше 3.41, поэтому других решений нет.
Ответ: 58, 87.

г) 43. Ищем двузначные числа $N$ вида $N = 43^k \cdot p^m$, где $p$ - простое число, $p \ne 43$, и $k,m \ge 1$.
1. При $k=1, m=1$, имеем $N=43 \cdot p$.
Из условия $10 \le 43p \le 99$ получаем $\frac{10}{43} \le p \le \frac{99}{43}$, или $0.23 \le p \le 2.30$. Единственное простое число $p$ в этом диапазоне - это 2.
- При $p=2$, $N = 43 \cdot 2 = 86$.
2. Рассмотрим степени больше 1.
- Если $k \ge 2$, то $43^2 = 1849 > 99$, решений нет.
- Если $k=1, m \ge 2$, то $N = 43 \cdot p^m$. Из $10 \le 43p^m \le 99$ получаем $p^m \le \frac{99}{43} \approx 2.30$. Наименьшее возможное значение $p^m$ (при $p=2, m=2$) это $2^2=4$, что уже больше 2.30, поэтому других решений нет.
Ответ: 86.