ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 6.54

6.54. Постройте треугольник АВС с вершинами А(3; 5), В(3; –2), С(–5; –2).
а) Убедитесь по рисунку, что он прямоугольный, назовите перпендикулярные отрезки.
б) Соедините отрезками середины К, М и N сторон АС, ВС и АВ. Проверьте, что длины сторон треугольника KMN пропорциональны длинам сторон треугольника АВС.

6.54

а) треугольник АВС – прямоугольный, ВС ⊥ ВА

б) $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{KN}} = \frac{8}{4} = 2;\frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{KM}} = \frac{7}{3,5} = 2;\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{MN}} = \frac{6}{3} = 2.$

Длины сторон треугольника KMN пропорциональны длинам сторон треугольника АВС.

а) Построим треугольник ABC в декартовой системе координат по заданным вершинам: A(3; 5), B(3; -2), C(-5; -2).

Чтобы убедиться, что треугольник является прямоугольным, проанализируем координаты его вершин. У точек A(3; 5) и B(3; -2) одинаковая абсцисса $x=3$. Это означает, что сторона AB параллельна оси ординат (оси OY), то есть является вертикальным отрезком. У точек B(3; -2) и C(-5; -2) одинаковая ордината $y=-2$. Это означает, что сторона BC параллельна оси абсцисс (оси OX), то есть является горизонтальным отрезком. Поскольку оси координат перпендикулярны, то и отрезки AB и BC, параллельные им, также перпендикулярны. Следовательно, угол между ними, $\angle ABC$, равен 90°, а треугольник ABC является прямоугольным. Перпендикулярные отрезки (катеты) — это AB и BC.

Для дополнительной проверки воспользуемся теоремой Пифагора. Найдем квадраты длин сторон по формуле расстояния между двумя точками $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$:

• $AB^2 = (3-3)^2 + (-2-5)^2 = 0^2 + (-7)^2 = 49$
• $BC^2 = (-5-3)^2 + (-2-(-2))^2 = (-8)^2 + 0^2 = 64$
• $AC^2 = (-5-3)^2 + (-2-5)^2 = (-8)^2 + (-7)^2 = 64 + 49 = 113$

Проверим равенство $AB^2 + BC^2 = AC^2$: $49 + 64 = 113$. Равенство выполняется, следовательно, по обратной теореме Пифагора, треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине B.

Ответ: Треугольник ABC является прямоугольным. Перпендикулярные отрезки: AB и BC.

б) Найдем координаты середин K, M и N сторон AC, BC и AB соответственно, используя формулу координат середины отрезка $((\frac{x_1+x_2}{2}); (\frac{y_1+y_2}{2}))$.

• K — середина AC: $K = ((\frac{3+(-5)}{2}); (\frac{5+(-2)}{2})) = ((\frac{-2}{2}); (\frac{3}{2})) = (-1; 1.5)$
• M — середина BC: $M = ((\frac{3+(-5)}{2}); (\frac{-2+(-2)}{2})) = ((\frac{-2}{2}); (\frac{-4}{2})) = (-1; -2)$
• N — середина AB: $N = ((\frac{3+3}{2}); (\frac{5+(-2)}{2})) = ((\frac{6}{2}); (\frac{3}{2})) = (3; 1.5)$

Отрезки KM, MN и NK являются средними линиями треугольника ABC. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине.

• Отрезок NK соединяет середины сторон AB и AC. Следовательно, $NK = \frac{1}{2} BC$.
• Отрезок KM соединяет середины сторон AC и BC. Следовательно, $KM = \frac{1}{2} AB$.
• Отрезок MN соединяет середины сторон BC и AB. Следовательно, $MN = \frac{1}{2} AC$.

Из этих соотношений следует, что стороны треугольника KMN пропорциональны сторонам треугольника ABC с коэффициентом пропорциональности $k=\frac{1}{2}$. $\frac{NK}{BC} = \frac{KM}{AB} = \frac{MN}{AC} = \frac{1}{2}$

Проверим это численно. Длины сторон треугольника ABC: $AB = \sqrt{49} = 7$, $BC = \sqrt{64} = 8$, $AC = \sqrt{113}$. Найдем длины сторон треугольника KMN:

• $NK = \sqrt{(-1-3)^2 + (1.5-1.5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$
• $KM = \sqrt{(-1-(-1))^2 + (-2-1.5)^2} = \sqrt{0^2 + (-3.5)^2} = \sqrt{12.25} = 3.5$
• $MN = \sqrt{(3-(-1))^2 + (1.5-(-2))^2} = \sqrt{4^2 + 3.5^2} = \sqrt{16 + 12.25} = \sqrt{28.25}$

Теперь найдем отношения длин соответствующих сторон:

• $\frac{NK}{BC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
• $\frac{KM}{AB} = \frac{3.5}{7} = \frac{1}{2}$
• $\frac{MN}{AC} = \frac{\sqrt{28.25}}{\sqrt{113}} = \sqrt{\frac{28.25}{113}} = \sqrt{0.25} = \frac{1}{2}$

Все отношения равны $\frac{1}{2}$, что подтверждает пропорциональность сторон.

Ответ: Координаты середин сторон: K(-1; 1.5), M(-1; -2), N(3; 1.5). Длины сторон треугольника KMN пропорциональны длинам сторон треугольника ABC, так как отношения соответствующих сторон равны $\frac{1}{2}$: $\frac{NK}{BC} = \frac{KM}{AB} = \frac{MN}{AC} = \frac{1}{2}$.