Для решения этой задачи нам потребуется вспомнить несколько важных понятий и правил работы с дробями.
Теория:
1. Дробь: Дробь − это способ записи числа, представляющего собой часть целого. Дробь состоит из числителя (верхнее число) и знаменателя (нижнее число). Например, в дроби $\frac{7}{20}$, 7 − это числитель, а 20 − знаменатель. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое, а числитель − сколько таких частей взято.
2. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями: Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, необходимо сначала привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель − это число, которое делится на оба знаменателя. Обычно в качестве общего знаменателя берут наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.
3. Нахождение наименьшего общего кратного (НОК): Чтобы найти НОК двух чисел, можно разложить их на простые множители и взять каждый множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях чисел.
Например, найдем НОК(20, 30):
20 = 2 * 2 * 5 = $2^2$ * 5
30 = 2 * 3 * 5
НОК(20, 30) = $2^2$ * 3 * 5 = 4 * 3 * 5 = 60
4. Приведение дроби к новому знаменателю: Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на одно и то же число (дополнительный множитель). Этот дополнительный множитель находится делением нового знаменателя на старый знаменатель.
Например, приведем дробь $\frac{7}{20}$ к знаменателю 60. Дополнительный множитель будет 60 / 20 = 3. Тогда $\frac{7}{20} = \frac{7 * 3}{20 * 3} = \frac{21}{60}$.
5. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями: Чтобы сложить или вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить или вычесть их числители, а знаменатель оставить без изменения.
Например, $\frac{21}{60} + \frac{34}{60} = \frac{21 + 34}{60} = \frac{55}{60}$.
6. Сокращение дробей: Если числитель и знаменатель дроби имеют общий делитель, то дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на этот делитель.
Например, дробь $\frac{55}{60}$ можно сократить на 5: $\frac{55}{60} = \frac{55 : 5}{60 : 5} = \frac{11}{12}$.
7. Представление целого числа в виде дроби: Любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Например, 1 = $\frac{1}{1}$. Чтобы представить целое число в виде дроби с нужным знаменателем, нужно умножить это число на нужный знаменатель. Например, чтобы представить 1 в виде дроби со знаменателем 12, нужно сделать так: 1 = $\frac{1 * 12}{12} = \frac{12}{12}$.
Решение:
1. Найдем, какую часть резервуара откачали оба насоса вместе. Для этого нужно сложить дроби $\frac{7}{20}$ и $\frac{17}{30}$.
Найдем общий знаменатель для 20 и 30. Как мы уже выяснили, НОК(20, 30) = 60.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{7}{20} = \frac{7 * 3}{20 * 3} = \frac{21}{60}$
$\frac{17}{30} = \frac{17 * 2}{30 * 2} = \frac{34}{60}$
Сложим дроби:
$\frac{21}{60} + \frac{34}{60} = \frac{21 + 34}{60} = \frac{55}{60}$
2. Сократим полученную дробь:
$\frac{55}{60} = \frac{55 : 5}{60 : 5} = \frac{11}{12}$
3. Найдем, какую часть резервуара осталось откачать. Считаем, что весь резервуар − это 1. Значит, нужно из 1 вычесть ту часть, которую уже откачали ($\frac{11}{12}$).
Представим 1 в виде дроби со знаменателем 12:
$1 = \frac{12}{12}$
Вычтем дроби:
$\frac{12}{12} - \frac{11}{12} = \frac{12 - 11}{12} = \frac{1}{12}$
Ответ: Осталось откачать $\frac{1}{12}$ резервуара.
