ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 6.66

6.66. Развивай мышление. На одно и то же число разделили числа 80 и 90. При делении 80 получили остаток 3, а при делении 90 – остаток 2. Чему равен делитель?

6.66

80 – 3 = 77 – число, которое нацело делится на делитель

90 – 2 = 88 – второе число, которое нацело делиться на делитель

77 = 11 • 7

88 = 2 • 2 • 2 • 11

НОД (77; 88) = 11

Ответ:11.

Пусть искомый делитель равен $d$. По условию задачи, число 80 при делении на $d$ дает остаток 3. Это можно записать в виде равенства:

$80 = d \cdot k + 3$, где $k$ – это неполное частное.

Также известно, что число 90 при делении на тот же делитель $d$ дает остаток 2. Запишем это в виде равенства:

$90 = d \cdot m + 2$, где $m$ – это неполное частное.

Из определения деления с остатком следует, что делитель всегда должен быть больше остатка. Из первого условия ($80$ с остатком $3$) получаем, что $d > 3$. Из второго условия ($90$ с остатком $2$) получаем, что $d > 2$. Объединяя эти два требования, приходим к выводу, что $d > 3$.

Теперь преобразуем полученные равенства. Из первого равенства следует, что $d \cdot k = 80 - 3$, то есть $d \cdot k = 77$. Это означает, что число 77 делится на $d$ без остатка, а значит, $d$ является делителем числа 77.

Из второго равенства следует, что $d \cdot m = 90 - 2$, то есть $d \cdot m = 88$. Это означает, что число 88 также делится на $d$ без остатка, а значит, $d$ является делителем числа 88.

Таким образом, искомый делитель $d$ является общим делителем чисел 77 и 88. Найдем все делители для каждого из этих чисел:

Делители числа 77: 1, 7, 11, 77.

Делители числа 88: 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88.

Сравнивая списки делителей, находим общие для них: 1 и 11.

Мы установили, что делитель $d$ должен быть больше 3. Из двух общих делителей (1 и 11) этому условию удовлетворяет только число 11.

Проверим найденное значение:

1) Делим 80 на 11: $80 \div 11 = 7$ (остаток $3$), так как $11 \cdot 7 + 3 = 80$. Верно.

2) Делим 90 на 11: $90 \div 11 = 8$ (остаток $2$), так как $11 \cdot 8 + 2 = 90$. Верно.

Следовательно, искомый делитель равен 11.

Ответ: 11