ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 6.23

6.23. Нарисуйте треугольник АВС и проведите через его вершины А, В и С прямые, параллельные противоположным сторонам. Обозначьте вершины получившегося треугольника А₁, В₁ и С₁ так, чтобы точки А и А₁ лежали по разные стороны от прямой ВС, а точки В и В₁ – от прямой АС. Сравните длины сторон АВ и А₁В₁, АС и А₁С₁, ВС и В₁С₁. Сделайте предположение.

6.23

А₁В₁ = 2АВ; В₁С₁ = 2ВС; А₁С₁ = 2АС

Длины сторон получившегося треугольника вдвое больше соответствующих сторон данного треугольника.

Нарисуем произвольный треугольник $ABC$. Проведем через каждую его вершину прямую, параллельную противолежащей стороне. Пусть прямая, проходящая через $A$, параллельна $BC$; прямая, проходящая через $B$, параллельна $AC$; и прямая, проходящая через $C$, параллельна $AB$. Эти три прямые образуют новый треугольник $A_1B_1C_1$. Согласно условию, вершина $A_1$ находится по другую сторону от прямой $BC$, чем $A$. Это означает, что $A_1$ является точкой пересечения прямых, проведенных через $B$ и $C$. Аналогично, $B_1$ — точка пересечения прямых, проведенных через $A$ и $C$, а $C_1$ — точка пересечения прямых, проведенных через $A$ и $B$.

Рассмотрим образовавшиеся четырехугольники. Четырехугольник $ACBC_1$ является параллелограммом, так как по построению его противоположные стороны попарно параллельны ($AC_1 \parallel BC$ и $BC_1 \parallel AC$). Следовательно, его противоположные стороны равны: $AC = BC_1$ и $BC = AC_1$. Аналогично доказывается, что $ABCB_1$ и $ABA_1C$ также являются параллелограммами. Из этого следует, что $AB = CB_1$ и $BC = AB_1$ (из параллелограмма $ABCB_1$), а также $AB = CA_1$ и $AC = BA_1$ (из параллелограмма $ABA_1C$).

Сравнение длин сторон

Используя свойства полученных параллелограммов, сравним длины сторон треугольников. Сторона $A_1B_1$ нового треугольника проходит через точку $C$, поэтому ее длина $A_1B_1 = A_1C + CB_1$. Так как $A_1C = AB$ (из параллелограмма $ABA_1C$) и $CB_1 = AB$ (из параллелограмма $ABCB_1$), получаем $A_1B_1 = AB + AB = 2 \cdot AB$. Аналогично, для стороны $B_1C_1$, проходящей через $A$, имеем $B_1C_1 = B_1A + AC_1$. Так как $B_1A = BC$ (из параллелограмма $ABCB_1$) и $AC_1 = BC$ (из параллелограмма $ACBC_1$), получаем $B_1C_1 = BC + BC = 2 \cdot BC$. Для стороны $A_1C_1$, проходящей через $B$, имеем $A_1C_1 = A_1B + BC_1$. Так как $A_1B = AC$ (из параллелограмма $ABA_1C$) и $BC_1 = AC$ (из параллелограмма $ACBC_1$), получаем $A_1C_1 = AC + AC = 2 \cdot AC$.

Ответ: Длина каждой стороны нового треугольника $A_1B_1C_1$ ровно в два раза больше длины соответствующей (параллельной ей) стороны исходного треугольника $ABC$. То есть: $A_1B_1 = 2 \cdot AB$, $B_1C_1 = 2 \cdot BC$ и $A_1C_1 = 2 \cdot AC$.

Предположение

Из проведенного сравнения сторон следует, что $A_1C = CB_1 = AB$, $B_1A = AC_1 = BC$ и $A_1B = BC_1 = AC$. Это означает, что точки $C$, $A$ и $B$ являются серединами сторон $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $A_1C_1$ нового треугольника соответственно. Треугольник, отрезки которого соединяют середины сторон другого треугольника, называется срединным треугольником.

Ответ: Предположение состоит в том, что вершины исходного треугольника $ABC$ являются серединами сторон построенного треугольника $A_1B_1C_1$, а сам треугольник $ABC$ является срединным треугольником для треугольника $A_1B_1C_1$.