ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 6.21

6.21. Нарисуйте квадрат и проведите через каждую его вершину прямую, параллельную его диагонали. Обозначьте точки пересечения прямых буквами. Какой четырёхугольник с вершинами в отмеченных точках получился?

6.21

АВСD – квадрат

Задача состоит из двух частей: построение фигуры и определение её вида.

Построение

1. Нарисуем исходный квадрат. Обозначим его вершины буквами $A, B, C, D$ против часовой стрелки.

2. Проведём в этом квадрате диагонали $AC$ и $BD$.

3. Теперь, согласно условию, через каждую вершину проведём прямую, параллельную одной из диагоналей. Чтобы получить замкнутую фигуру, будем проводить прямую через вершину параллельно той диагонали, которая не проходит через эту вершину:

• Через вершины $A$ и $C$ проведём прямые, параллельные диагонали $BD$.
• Через вершины $B$ и $D$ проведём прямые, параллельные диагонали $AC$.

4. Эти четыре прямые пересекутся в четырёх точках. Обозначим эти точки пересечения буквами $K, L, M, N$. Эти точки являются вершинами нового четырёхугольника.

Наглядно это можно представить на чертеже:

Анализ полученной фигуры $KLMN$

Чтобы определить, какой четырёхугольник получился, проверим его свойства: параллельность сторон, равенство углов и равенство длин сторон.

1. Параллельность сторон. По построению, прямая $KL$ (проходящая через $A$) и прямая $NM$ (проходящая через $C$) параллельны диагонали $BD$. Значит, $KL \parallel NM$. Аналогично, прямая $LM$ (проходящая через $B$) и прямая $KN$ (проходящая через $D$) параллельны диагонали $AC$. Значит, $LM \parallel KN$. Так как противолежащие стороны четырёхугольника попарно параллельны, $KLMN$ является параллелограммом.

2. Углы. Рассмотрим угол при вершине $L$. Он образован пересечением прямых $KL$ и $LM$. Мы знаем, что $KL \parallel BD$ и $LM \parallel AC$. Угол между пересекающимися прямыми равен углу между любыми другими двумя прямыми, которые им соответственно параллельны. Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, то есть угол между ними составляет $90^\circ$. Следовательно, угол $\angle K L M = 90^\circ$. Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, является прямоугольником.

3. Длины сторон. Пусть сторона исходного квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда по теореме Пифагора длина его диагоналей $AC$ и $BD$ одинакова и равна $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
Сторона $LM$ нового прямоугольника равна расстоянию между параллельными прямыми $KL$ и $NM$. Это расстояние равно длине диагонали $AC$, так как прямые $KL$ и $NM$ перпендикулярны $AC$ (поскольку $KL \parallel BD$ и $BD \perp AC$). Таким образом, длина стороны $LM = AC = a\sqrt{2}$.
Аналогично, длина стороны $KL$ равна расстоянию между параллельными прямыми $LM$ и $KN$. Это расстояние равно длине диагонали $BD$. Таким образом, длина стороны $KL = BD = a\sqrt{2}$.
Мы получили, что смежные стороны прямоугольника $KLMN$ равны: $KL = LM = a\sqrt{2}$. Прямоугольник с равными сторонами является квадратом.

Ответ: Получившийся четырёхугольник с вершинами в отмеченных точках является квадратом.