ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 5.31

5.31. Бригада устанавливала в новом доме за смену 24 пластиковых окна, затрачивая на установку одного окна 13 ч. На сколько процентов повысится производительность труда этой бригады, если на установку окна будет затрачено 415 ч?

5.31

$\frac{24}{х} = \frac{\frac{4}{15}}{\frac{1}{3}};$

$х = \frac{\stackrel{8}{\overline{)24}} · \frac{1}{\underset{1}{\overline{)3}}}}{\frac{4}{15}} =\frac{8}{\frac{4}{15}} = 8 : \frac{4}{15} = \stackrel{2}{\overline{)8} }· \frac{15}{\underset{1}{\overline{)4}}} =$

$= 2 · \frac{15}{1} = 30$(окон) – изготовят за смену

$\frac{30}{24} · 100\% = \frac{5}{4} · 100\% = {1\frac{1}{4}}^{\overline{)·25}} · 100\% =$

$= 1,25 · 100\% = 125\%$ - стала производительность 

$125\% – 100\% = 25\%$ - повысится производительность труда

Ответ: на 25%

Для решения этой задачи необходимо сравнить производительность труда бригады до и после изменения времени на установку одного окна. Производительность труда — это количество работы (в данном случае, количество установленных окон), выполняемое за единицу времени (например, за 1 час).

Изначально на установку одного окна уходило $t_1 = \frac{1}{3}$ часа. Это означает, что начальная производительность труда ($П_1$) составляла:

$П_1 = \frac{1 \text{ окно}}{t_1} = \frac{1}{1/3 \text{ часа}} = 3$ окна в час.

В новых условиях время на установку одного окна сократилось до $t_2 = \frac{4}{15}$ часа. Новая производительность труда ($П_2$) составит:

$П_2 = \frac{1 \text{ окно}}{t_2} = \frac{1}{4/15 \text{ часа}} = \frac{15}{4}$ окна в час.

Чтобы найти, на сколько процентов новая производительность ($П_2$) больше начальной ($П_1$), нужно вычислить их отношение и выразить его в процентах. Удобнее всего найти, во сколько раз выросла производительность, а затем перевести это в проценты. Отношение новой производительности к старой равно:

$\frac{П_2}{П_1} = \frac{15/4}{3} = \frac{15}{4 \cdot 3} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1,25$

Это означает, что новая производительность составляет $1,25$ от старой, или $125\%$. Чтобы найти, на сколько процентов производительность повысилась, нужно вычесть из новой производительности в процентах начальную, которая принимается за $100\%$:

$125\% - 100\% = 25\%$

Также можно было рассчитать абсолютное изменение производительности и затем найти его процентное отношение к начальной производительности:

Абсолютное изменение: $\Delta П = П_2 - П_1 = \frac{15}{4} - 3 = \frac{15}{4} - \frac{12}{4} = \frac{3}{4}$ окна в час.

Процентное повышение: $\frac{\Delta П}{П_1} \times 100\% = \frac{3/4}{3} \times 100\% = \frac{1}{4} \times 100\% = 25\%$.

Ответ: производительность труда этой бригады повысится на 25%.