ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 5.104

5.104. Семья ехала от дома до дачи 1 ч 30 мин. Если бы скорость машины была больше на 10 км/ч, то поездка заняла бы 1 ч 15 мин. Чему равна скорость машины и расстояние до дачи?

5.104

1 ч 30 мин = 1,5 ч, 1 ч 15 мин = 1,25 ч

Пусть х км/ч – скорость машины, тогда 1,5х км – расстояние от дома до дачи, (х + 10) км/ч – была бы скорость машины, 1,25(х + 10) км – расстояние от дома до дачи. Зная, что расстояние одинаковое, составим и решим уравнение:

$1,5х = 1,25(х + 10); 1,5х = 1,25х + 12,5; 1,5х – 1,25х = 12,5; 0,25х = 12,5; х = 12,5 : 0,25; х = 1250 : 25$

х = 50 км/ч – скорость машины;

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }1,5 · 50 = 75$км – расстояние от дома до дачи

Ответ: 50 км/ч, 75 км.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v$ (в км/ч) – это первоначальная скорость машины, а $S$ (в км) – расстояние от дома до дачи.

По условию, время в пути в первом случае составляет $t_1 = 1 \text{ ч } 30 \text{ мин}$, а во втором, гипотетическом, случае $t_2 = 1 \text{ ч } 15 \text{ мин}$.

Сначала переведем время в часы для удобства вычислений.

Время в первом случае:

$t_1 = 1 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 1 + \frac{30}{60} \text{ ч} = 1.5 \text{ ч}$.

Время во втором случае:

$t_2 = 1 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 1 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{1}{4} \text{ ч} = 1.25 \text{ ч}$.

Расстояние вычисляется по формуле $S = \text{скорость} \times \text{время}$.

В первом случае расстояние до дачи можно выразить как:

$S = v \cdot t_1 = v \cdot 1.5$

Во втором случае скорость машины была бы на 10 км/ч больше, то есть $v + 10$ км/ч. Расстояние до дачи в этом случае выражается как:

$S = (v + 10) \cdot t_2 = (v + 10) \cdot 1.25$

Так как расстояние от дома до дачи в обоих случаях одно и то же, мы можем приравнять два полученных выражения для $S$ и составить уравнение:

$1.5v = 1.25(v + 10)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти первоначальную скорость $v$. Раскроем скобки в правой части:

$1.5v = 1.25v + 1.25 \cdot 10$

$1.5v = 1.25v + 12.5$

Перенесем все члены с переменной $v$ в левую часть уравнения:

$1.5v - 1.25v = 12.5$

$0.25v = 12.5$

Найдем $v$, разделив обе части на 0.25:

$v = \frac{12.5}{0.25} = \frac{1250}{25} = 50$

Таким образом, первоначальная скорость машины равна 50 км/ч.

Теперь, зная скорость, можем найти расстояние до дачи. Для этого подставим найденное значение $v$ в формулу для первого случая:

$S = 1.5 \cdot v = 1.5 \cdot 50 = 75$ км.

Для проверки можно рассчитать расстояние и для второго случая: скорость $v + 10 = 50 + 10 = 60$ км/ч.

$S = 1.25 \cdot 60 = 75$ км.

Результаты совпадают, следовательно, задача решена верно.

Ответ: скорость машины 50 км/ч, расстояние до дачи 75 км.