ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 4.36

4.36. Отдыхающих можно разместить в коттеджах по 12 человек и по 8 человек, при этом в коттеджах не останется свободных мест. Сколько было отдыхающих, если их больше 71, но меньше 80?

4.36

Найдем наименьшее общие кратные чисел 12 и 8, это 24, 48, 72, 96, …

условию задачи соответствует число 72

Ответ: 72 отдыхающих.

Пусть $N$ — общее количество отдыхающих.

Согласно условию задачи, отдыхающих можно разместить в коттеджах по 12 человек и по 8 человек, и при этом не останется свободных мест. Это означает, что общее число отдыхающих $N$ должно делиться нацело и на 12, и на 8. Другими словами, число $N$ является общим кратным чисел 12 и 8.

Чтобы найти все возможные значения для $N$, сначала найдем наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел.

Разложим числа 12 и 8 на простые множители:
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

Для нахождения НОК(12, 8) нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях:
НОК(12, 8) = $2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24$.

Это значит, что общее количество отдыхающих должно быть кратно 24. Найдем все числа, кратные 24:
$24 \cdot 1 = 24$
$24 \cdot 2 = 48$
$24 \cdot 3 = 72$
$24 \cdot 4 = 96$
и так далее.

В условии сказано, что количество отдыхающих больше 71, но меньше 80. Запишем это в виде двойного неравенства:
$71 < N < 80$.

Теперь из списка чисел, кратных 24, выберем то, которое удовлетворяет этому неравенству.
Единственное число, которое подходит, — это 72, так как $71 < 72 < 80$.

Проверка:
1. Можно ли разместить 72 человека в коттеджах по 12 человек? $72 / 12 = 6$. Да, потребуется 6 коттеджей.
2. Можно ли разместить 72 человека в коттеджах по 8 человек? $72 / 8 = 9$. Да, потребуется 9 коттеджей.
3. Выполняется ли условие $71 < 72 < 80$? Да, выполняется.

Ответ: 72 отдыхающих.