Заданное равенство имеет вид ∗∗⋅∗=∗∗∗=∗⋅∗∗. Это означает, что мы ищем такое трёхзначное число, которое можно представить в виде произведения двузначного числа на однозначное двумя разными способами. При этом все девять цифр, участвующих в записи этого равенства, должны быть различными и принадлежать множеству {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Обозначим равенство в виде AB⋅C=DEF=G⋅HI, где A,B,C,D,E,F,G,H,I — это различные цифры от 1 до 9. Наша задача — найти эти цифры. Мы будем искать подходящее трёхзначное число N=DEF, которое имеет как минимум два разложения на множители вида «двузначное число × однозначное число», и при этом совокупность всех девяти цифр, составляющих оба разложения и само число N, будет состоять из всех цифр от 1 до 9 без повторений.
Рассмотрим в качестве кандидата число N=174. Его цифры (1,7,4) различны и не равны нулю. Найдём его разложения на множители, где один множитель — однозначное число, а второй — двузначное:
174=2⋅87
174=3⋅58
174=6⋅29
Теперь необходимо выбрать два из этих разложений и проверить, удовлетворяют ли они главному условию об уникальности всех девяти используемых цифр. Возьмём пару разложений 3⋅58=174 и 6⋅29=174. Составим из них итоговое равенство в соответствии с шаблоном: 58⋅3=174=29⋅6.
Проверим набор цифр, которые использованы для записи этого равенства. Цифры двузначного множителя 58 — это {5,8}. Цифра однозначного множителя 3 — это {3}. Цифры результата 174 — это {1,7,4}. Цифры второго двузначного множителя 29 — это {2,9}. И цифра второго однозначного множителя 6 — это {6}.
Объединив все эти цифры, мы получим множество {5,8,3,1,7,4,2,9,6}. Как мы видим, это множество в точности совпадает с множеством всех цифр от 1 до 9, и каждая цифра в нем уникальна. Следовательно, найденное равенство является решением задачи.
Ответ: 58⋅3=174=29⋅6. Также верным будет вариант 29⋅6=174=58⋅3.
