ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 2.110

2.110. Найдите наибольший общий делитель всех двузначных чисел, записанных одинаковыми цифрами.

2.110

Наименьшее двузначное число, записанное одинаковыми цифрами – число 11, остальные двузначные числа, которые записаны одинаковыми цифрами, кратны 11, поэтому

$\mathrm{НОД} (11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99) = 11$

Для решения данной задачи необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) всех двузначных чисел, у которых цифры одинаковы.

Сначала выпишем все такие числа. Двузначные числа, записанные одинаковыми цифрами, — это числа, у которых цифра в разряде десятков совпадает с цифрой в разряде единиц. Такими числами являются:
11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.

Теперь нам нужно найти НОД($11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99$).

Способ 1: Аналитический

Любое двузначное число, записанное одинаковыми цифрами $a$ (где $a$ — цифра от 1 до 9), можно представить в виде формулы:
$\overline{aa} = 10 \cdot a + 1 \cdot a = 11 \cdot a$

Используя эту формулу, представим наш ряд чисел:
$11 = 11 \cdot 1$
$22 = 11 \cdot 2$
$33 = 11 \cdot 3$
...
$99 = 11 \cdot 9$

Как видно из этого представления, каждое число в данном ряду является произведением числа 11 и некоторого целого числа от 1 до 9. Это означает, что все эти числа делятся на 11 без остатка. Следовательно, 11 является их общим делителем.

Чтобы найти наибольший общий делитель, воспользуемся свойством НОД:
НОД($k \cdot n_1, k \cdot n_2, \dots, k \cdot n_m$) = $k \cdot$ НОД($n_1, n_2, \dots, n_m$).
В нашем случае $k = 11$, а числа $n_i$ — это $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
НОД($11, 22, \dots, 99$) = $11 \cdot$ НОД($1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$).

Наибольший общий делитель для набора последовательных натуральных чисел, начиная с 1, всегда равен 1.
НОД($1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$) = $1$.

Таким образом, искомый НОД равен:
$11 \cdot 1 = 11$.

Способ 2: Разложение на множители

Наибольший общий делитель не может быть больше, чем наименьшее из чисел в наборе (если числа не равны). В нашем случае наименьшее число — это 11. Значит, НОД не может быть больше 11.

Проверим, является ли 11 общим делителем для всех чисел в ряду:
$11 : 11 = 1$
$22 : 11 = 2$
$33 : 11 = 3$
...
$99 : 11 = 9$

Все числа делятся на 11 без остатка. Так как 11 является общим делителем и одновременно наибольшим возможным значением для НОД, то 11 и есть наибольший общий делитель.

Ответ: 11