ГДЗ Виленкин 6 класс — задание 2.106, часть 1

1

GDZ.ru

Ответ:

1) Взаимно простыми могут быть: б), в), г), д).
2) Взаимно простыми всегда являются: в), д) (для пункта «в» — при условии, что простые числа не совпадают).

Объяснение:

Два натуральных числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен $1$ (то есть у них нет общих делителей, кроме единицы).

1) Какие числа могут быть взаимно простыми?

а) Два чётных числа — не могут.
Любые чётные числа делятся на $2$ . Значит, их общий делитель как минимум равен $2$ , поэтому они никогда не бывают взаимно простыми (например: $4$ и $6$ делятся на $2$ ).
б) Чётное и нечётное числа — могут.
Пример: числа $4$ и $9$ взаимно простые ( $\text{НОД}(4, 9) = 1$ ). Но так бывает не всегда: числа $6$ и $9$ не взаимно простые, так как оба делятся на $3$ .
в) Два простых числа — могут.
Пример: $3$ и $5$ взаимно простые ( $\text{НОД}(3, 5) = 1$ ).
г) Простое и составное числа — могут.
Пример: простое число $5$ и составное число $8$ взаимно простые ( $\text{НОД}(5, 8) = 1$ ). Но так бывает не всегда: $3$ и $9$ имеют общий делитель $3$ .
д) Два последовательных натуральных числа — могут.
Пример: $7$ и $8$ взаимно простые.

2) Какие числа всегда взаимно простые?

а) Два чётных числа — нет, они всегда имеют общий делитель $2$ .
б) Чётное и нечётное числа — не всегда (например, $6$ и $9$ делятся на $3$ ).
в) Два простых числа — всегда (если они разные).
Простые числа делятся только на $1$ и на самих себя. У двух различных простых чисел не может быть других общих делителей, кроме $1$ .
г) Простое и составное числа — не всегда (например, простое $5$ и составное $10$ делятся на $5$ ).
д) Два последовательных натуральных числа — всегда.
Разность двух соседних чисел равна $1$ . Любой общий делитель этих чисел должен делить и их разность, а на $1$ делится только единица. Значит, их наибольший общий делитель всегда равен $1$ (например: $14$ и $15$ , $100$ и $101$ ).

Решебник 2026

Видеорешение

Решебник 2021

2

ГДЗ Ракета

Оригинал ↗

Условие

1) Какие числа могут быть взаимно простыми:

2) Какие числа всегда взаимно простые:

Ответ

1) а) Два чётных числа не могут быть взаимно простыми, так как у них как минимум есть один общий делитель 2. б) Чётное и нечётное числа могут быть взаимно простыми, если их НОД = 1. в) Два простых числа могут быть взаимно простыми, так как их НОД = 1. г) Простое и составное числа могут быть взаимно простыми, если их НОД = 1. д) Два последовательных натуральных числа могут быть взаимно простыми, так как их НОД = 1.
Ответ: а) не могут; б) могут; в) могут; г) могут; д) могут.
2) а) Два чётных числа никогда не могут быть взаимно простыми, так как у них как минимум есть один общий делитель 2. б) Чётное и нечётное числа не всегда взаимно простые, только тогда, когда их НОД = 1. в) Два простых числа всегда взаимно простые, так как их НОД = 1. г) Простое и составное числа не всегда взаимно простые, только тогда, когда их НОД = 1. д) Два последовательных натуральных числа всегда взаимно простые, так как их НОД = 1.
Ответ: а) никогда; б) не всегда; в) всегда; г) не всегда; д) всегда.

3

Буду отличником

Оригинал ↗

Ответ

№2.106 учебника 2023-2026 (стр. 57):

1) а) два четных числа не могут быть взаимно простыми, так как их НОД всегда не меньше 2.

б) четное и нечетное числа могут быть взаимно простыми, например,

НОД(9; 14) = 1.

в) два простых числа могут быть взаимно простыми, так как их НОД всегда равен 1.

г) простое и составное числа могут быть взаимно простыми, например,

НОД(7; 12) = 1.

д) два последовательных натуральных числа могут быть взаимно простыми, так как их НОД всегда равен 1.

Ответ: а) не могут; б) могут; в) могут; г) могут; д) могут.

2) а) два четных числа никогда не могут быть взаимно простыми, так как их НОД всегда не меньше 2.

б) четное и нечетное числа не всегда взаимно простые, например,

НОД(13; 26) = 13.

в) два простых числа всегда взаимно простые, так как их НОД всегда равен 1.

г) простое и составное числа не всегда взаимно простые, например,

НОД(7; 21) = 7.

д) два последовательных натуральных числа всегда взаимно простые, так как их НОД всегда равен 1.

Ответ: а) никогда; б) не всегда;

в) всегда; г) не всегда; д) всегда.

Пояснения:

Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Наибольшим общим делителем (НОД) нескольких чисел называют наибольшее натуральное число, на которое делятся эти числа без остатка.

№2.106 учебника 2021-2022 (стр. 50):

Хлебобулочные изделия - раз в 2 дня, кисломолочную продукцию - раз в 3 дня, кондитерские изделия - раз в 10 дней.

2 и 3 - простые числа,

10 = 2 • 5

НОК(2; 3; 10) = 2 • 3 • 5 = 30.

1 + 30 = 31

Ответ: 31 декабря в следующий раз эти товары привезут в один день.

Пояснения:

Наименьшим общим кратным (НОК) нескольких натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел.

В магазин раз в два дня привозят хлебобулочные изделия, раз в три дня - кисломолочную продукцию и каждые десять дней- кондитерские изделия. Первого декабря в магазин привезли эти три вида товаров. Чтобы определить, когда в следующий раз эти товары привезут в один день, нужно найти НОК чисел 2, 3 и 10, и полученный результат прибавить к единице, так как последний раз три товара вместе привезли в магазин первого декабря.

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких натуральных чисел, надо:

1) разложить их на простые множители (представление числа в виде произведения его простых делителей называют разложением числа на простые множители);

2) выписать множители из разложения большего из чисел;

3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;

4) найти произведение этих множителей.

4

Помогалка

Оригинал ↗

cтраница 57 задача 2.106 математика 6 класс Виленкин часть 1 просвещение ФГОС 2023

5

РешУтка

Оригинал ↗

6

Решак

Оригинал ↗

Решение #1(Учебник 2026)

Изображение В магазин раз в два дня привозят хлебобулочные изделия, раз в три дня кисломолочную...

Решение #2(Учебник 2026)

Решение #3(Учебник 2026)

Решение #4(Учебник 2021)

Решение #5(Учебник 2021)

Решение #6(Учебник 2021)

7

ГДЗ ТОП

Оригинал ↗

№2.106 (с. 57)

Условие. №2.106 (с. 57)

скриншот условия

Математика, 6 класс Учебник, авторы: Виленкин Наум Яковлевич, Жохов Владимир Иванович, Чесноков Александр Семёнович, Александрова Лилия Александровна, Шварцбурд Семён Исаакович, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, Часть 1, страница 57, номер 2.106, Условие

2.106. 1) Какие числа могут быть взаимно простыми: а) два чётных числа; б) чётное и нечётное числа; в) два простых числа; г) простое и составное числа; д) два последовательных натуральных числа?

2) Какие числа всегда взаимно простые: а) два чётных числа; б) чётное и нечётное числа; в) два простых числа; г) простое и составное числа; д) два последовательных натуральных числа?

Решение 1. №2.106 (с. 57)

2.106

1)

а) два четных числа не могут быть взаимно простыми, т.к. они их общим делителем будет число 2, а не только число 1.

б) четное и нечетное число могут быть взаимно простыми, например, числа 8 и 9 имеют только один общий делитель – число 1.

в) два простых числа всегда являются взаимно простыми, т.к. каждое из них имеет только 2 делителя – число 1 и само число, поэтому их общим делителем является число 1.

г) простое и составное число могут быть взаимно простыми, например, числа 5 и 6 – взаимно простые, т.к. имеют только один общий делитель – число 1.

д) два последовательных натуральных числа могут быть взаимно простыми, например, числа 6 и 7 – взаимно простые, их общий делитель равен 1.

2)

а) два четных числа не могут быть взаимно простыми

б) четное и нечетное число не всегда взаимно просты, например, 20 и 25 – не взаимно простые числа, т.к. они оба делятся на 5.

в) два простых числа всегда являются взаимно простыми, т.к. каждое из них имеет только 2 делителя – число 1 и само число, поэтому их общим делителем является число 1.

г) простое и составное число не всегда являются взаимно простыми, например, числа 5 и 15 – не являются взаимно простыми числами, т.к. они оба делятся на 5.

д) два последовательных натуральных числа всегда являются взаимно простыми

Решение 2. №2.106 (с. 57)

Два натуральных числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Проанализируем каждый случай.

1) Какие числа МОГУТ быть взаимно простыми:

а) два чётных числа
Любое чётное число по определению делится на 2. Следовательно, любые два чётных числа имеют общий делитель, как минимум, 2. Их наибольший общий делитель всегда будет больше или равен 2 ( $НОД \ge 2$ ). Таким образом, два чётных числа никогда не могут быть взаимно простыми.
Ответ: Нет, не могут.

б) чётное и нечётное числа
Да, могут. Нужно найти хотя бы один пример. Возьмём чётное число 4 и нечётное число 9. Разложим их на простые множители: $4 = 2^2$ и $9 = 3^2$ . У них нет общих простых множителей. Их наибольший общий делитель $НОД(4, 9) = 1$ . Следовательно, чётное и нечётное числа могут быть взаимно простыми.
Ответ: Да, могут.

в) два простых числа
Да, могут. Если взять два различных простых числа, например, 5 и 11. У простого числа есть только два делителя: 1 и само число. Таким образом, у двух различных простых чисел единственным общим делителем будет 1. $НОД(5, 11) = 1$ .
Ответ: Да, могут.

г) простое и составное числа
Да, могут. Это возможно, если составное число не делится на данное простое число. Например, возьмём простое число 7 и составное число 10. Разложение на множители: $10 = 2 \times 5$ . Число 7 не является делителем числа 10. $НОД(7, 10) = 1$ .
Ответ: Да, могут.

д) два последовательных натуральных числа
Да, могут. Более того, они всегда взаимно просты. Например, $НОД(8, 9) = 1$ . Если предположить, что два последовательных числа $n$ и $n+1$ имеют общий делитель $d > 1$ , то на $d$ должно делиться и их разность: $(n+1) - n = 1$ . Но единственным натуральным делителем числа 1 является само число 1. Значит, $d=1$ . Это доказывает, что любые два последовательных натуральных числа взаимно просты. Раз они всегда взаимно просты, значит, они и "могут быть" взаимно простыми.
Ответ: Да, могут.

2) Какие числа ВСЕГДА взаимно простые:

а) два чётных числа
Как было показано в пункте 1(а), любые два чётных числа имеют общий делитель 2, поэтому их НОД всегда больше 1. Они никогда не бывают взаимно простыми.
Ответ: Нет, не всегда.

б) чётное и нечётное числа
Нет, не всегда. Достаточно привести один контрпример. Возьмём чётное число 6 и нечётное число 9. $НОД(6, 9) = 3$ , так как оба числа делятся на 3. Поскольку НОД не равен 1, эти числа не являются взаимно простыми.
Ответ: Нет, не всегда.

в) два простых числа
Нет, не всегда. Если простые числа различны (например, 3 и 5), они взаимно просты. Однако, если взять два одинаковых простых числа (например, 7 и 7), то их наибольший общий делитель равен самому этому числу: $НОД(7, 7) = 7$ . Так как НОД не равен 1, они не взаимно просты. Вопрос не уточняет, что числа должны быть различными.
Ответ: Нет, не всегда.

г) простое и составное числа
Нет, не всегда. Если составное число делится на данное простое число, они не будут взаимно простыми. Например, простое число 3 и составное число 6. Поскольку $6 = 2 \times 3$ , оба числа делятся на 3, и $НОД(3, 6) = 3$ .
Ответ: Нет, не всегда.

д) два последовательных натуральных числа
Да, всегда. Как было доказано в пункте 1(д), наибольший общий делитель двух последовательных натуральных чисел $n$ и $n+1$ всегда равен 1. Пусть $d$ — их общий делитель. Тогда $d$ делит $n$ и $d$ делит $n+1$ . Следовательно, $d$ делит их разность $(n+1) - n = 1$ . Единственный положительный делитель 1 — это 1. Значит, $НОД(n, n+1) = 1$ для любых последовательных натуральных чисел.
Ответ: Да, всегда.

Решение 3. №2.106 (с. 57)

Решение 4. №2.106 (с. 57)

8

Решалка

Оригинал ↗

1)

а) Два четных числа не могут быть взаимно простыми, так как они имеют общий делитель 2.
б) Четное и нечетное могут быть взаимно простыми, например НОД(7; 16) = 1.
в) Два простых числа могут быть взаимно простыми, так как их НОД = 1.
г) Простое и составное числа могут быть взаимно простыми, например НОД(13; 18) = 1.
д) Два последовательных числа могут быть взаимно простыми, так как их НОД = 1.
Ответ: б, в, г, д.

2)

а) Два четных числа не могут быть взаимно простыми, так как они имеют общий делитель 2.
б) Четное и нечетное числа не всегда взаимно простые, например НОД(5;10) = 5.
в) Два простых числа всегда взаимно простые, так как их НОД всегда равен 1.
г) Простое и составное число не всегда будут взаимно простыми, например НОД(7;14) = 7.
д) Два последовательных числа всегда будут взаимно простыми, так как их НОД всегда равен 1.
Ответ: в, д.

Подробный разбор

Теория

Прежде чем отвечать на вопросы, давай вспомним, что такое взаимно простые числа.

Делитель числа: Делителем числа a называется число, на которое a делится без остатка. Например, делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, 6 и 12.
Общий делитель: Общим делителем двух чисел a и b называется число, которое является делителем и числа a, и числа b. Например, общими делителями чисел 12 и 18 являются 1, 2, 3 и 6.
Наибольший общий делитель (НОД): Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольший из их общих делителей. Например, НОД(12, 18) = 6.
Взаимно простые числа: Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1. Иными словами, у них нет общих делителей, кроме 1.
Простое число: Это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Примеры: 2, 3, 5, 7, 11 и т.д.
Составное число: Это натуральное число больше 1, которое имеет делители, отличные от 1 и самого себя. Примеры: 4, 6, 8, 9, 10 и т.д.
Четное число: Это целое число, которое делится на 2 без остатка.
Нечетное число: Это целое число, которое не делится на 2 без остатка.
Последовательные натуральные числа: Это числа, идущие друг за другом в натуральном ряду (1, 2, 3, 4, 5...). Например, 5 и 6 − последовательные натуральные числа.

Решение

Теперь, когда мы все вспомнили, давай ответим на вопросы.

1. Какие числа могут быть взаимно простыми?

а) Два четных числа.

Любое четное число делится на 2. Значит, два четных числа всегда имеют общий делитель 2. Поэтому два четных числа не могут быть взаимно простыми.
Пример: 4 и 6. НОД(4, 6) = 2.

b) Четное и нечетное числа.

Четное число делится на 2, а нечетное − нет. Однако, у них могут быть и другие общие делители. Например, 6 и 9 имеют общий делитель 3. Но если у них нет общих делителей кроме 1, то они взаимно простые.
Пример 1: 8 и 9. НОД(8, 9) = 1. Взаимно простые.
Пример 2: 6 и 15. НОД(6, 15) = 3. Не взаимно простые.
Значит, четное и нечетное числа могут быть взаимно простыми.

в) Два простых числа.

Простые числа делятся только на 1 и на самих себя. Если у двух простых чисел разные значения, то их единственный общий делитель − 1. Если же это одно и тоже число, то НОД будет равен этому числу.
Пример 1: 7 и 11. НОД(7, 11) = 1. Взаимно простые.
Пример 2: 7 и 7. НОД(7, 7) = 7. Не взаимно простые.
Значит, два простых числа могут быть взаимно простыми.

г) Простое и составное числа.

У простого числа делители только 1 и само это число. Составное число имеет и другие делители. Если простое число не является делителем составного, то у них нет общих делителей, кроме 1.
Пример 1: 5 и 12. НОД(5, 12) = 1. Взаимно простые.
Пример 2: 3 и 9. НОД(3, 9) = 3. Не взаимно простые.
Значит, простое и составное числа могут быть взаимно простыми.

д) Два последовательных натуральных числа.

Допустим, у двух последовательных чисел n и (n+1) есть общий делитель d, больший 1. Тогда и разность (n+1) − n = 1 должна делиться на d. Но 1 делится только на 1. Значит, предположение о существовании общего делителя d > 1 неверно.
Пример: 8 и 9. НОД(8, 9) = 1. Взаимно простые.
Значит, два последовательных натуральных числа могут быть взаимно простыми.

Ответ: б, в, г, д.

2. Какие числа всегда взаимно простые?

а) Два четных числа.

Как мы уже выяснили, два четных числа всегда имеют общий делитель 2, поэтому они не всегда взаимно простые.

б) Четное и нечетное числа.

Как мы уже выяснили, четное и нечетное числа не всегда взаимно простые. Например, 6 и 9 имеют общий делитель 3.

в) Два простых числа.

Два различных простых числа всегда взаимно простые, т.к. у них нет других общих делителей, кроме 1.

г) Простое и составное числа.

Простое и составное числа не всегда взаимно простые. Например, 3 и 9 имеют общий делитель 3.

д) Два последовательных натуральных числа.

Как мы уже выяснили, два последовательных натуральных числа всегда взаимно простые.

Ответ: в, д.

9

Ответкин

Оригинал ↗

2.106. 1) Какие числа могут быть взаимно простыми: а) два чётных числа; б) чётное и нечётное числа; в) два простых числа; г) простое и составное числа; д) два последовательных натуральных числа?
2) Какие числа всегда взаимно простые: а) два чётных числа; б) чётное и нечётное числа; в) два простых числа; г) простое и составное числа; д) два последовательных натуральных числа?

Решение №1 2024 г.

Фото решения 2: Номер №2.106, Часть 1 из ГДЗ по Математике 6 класс: Виленкин Н.Я. 2024г.

ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 2.106

Ответ:

Объяснение:

1) Какие числа могут быть взаимно простыми?

2) Какие числа всегда взаимно простые?

Решебник 2026

Видеорешение

Решебник 2021

Условие

Ответ

Ответ

Решение #1(Учебник 2026)

Решение #2(Учебник 2026)

Решение #3(Учебник 2026)

Решение #4(Учебник 2021)

Решение #5(Учебник 2021)

Решение #6(Учебник 2021)

1)

2)

Подробный разбор

Решение №1 2024 г.