ГДЗ по математике 6 класс Виленкин — задание 4.163

4.163. Возможно ли занести в комнату шкаф через дверной проём высотой 2 м и шириной 70 см, если его высота 1,6 м, глубина составляет 50 % высоты, а длина – 125 % глубины?

4.163

1) 1,6 • 0,5 = 0,8 (м) – глубина шкафа;

2) 0,8 • 1,25 = 1 (м) – длина шкафа;

т.к. 0,7 м < 0,8 м и 0,7 м < 1 м, то шкаф занести невозможно

Ответ: невозможно.

Для решения задачи сначала определим точные размеры шкафа и сравним их с размерами дверного проема. Все размеры для удобства расчетов переведем в метры.

1. Расчет размеров шкафа

Размеры дверного проема: высота $H = 2$ м, ширина $W = 70$ см $= 0,7$ м.

Согласно условию, размеры шкафа следующие:

• Высота: $h_{ш} = 1,6$ м.
• Глубина: $d_{ш} = 50\%$ от высоты, то есть $0,5 \times 1,6 \text{ м} = 0,8$ м.
• Длина: $l_{ш} = 125\%$ от глубины, то есть $1,25 \times 0,8 \text{ м} = 1,0$ м.

Таким образом, шкаф представляет собой прямоугольный параллелепипед с габаритами 1,6 м × 1,0 м × 0,8 м.

2. Анализ возможности проноса шкафа

Рассмотрим различные способы проноса шкафа через дверной проем.

Если нести шкаф вертикально (сохраняя его высоту 1,6 м параллельно высоте двери), то высота шкафа (1,6 м) меньше высоты двери (2,0 м), и он проходит по высоте. Однако два других измерения шкафа — длина (1,0 м) и глубина (0,8 м) — оба больше ширины дверного проема (0,7 м). Это означает, что без наклона шкаф не пройдет.

Если положить шкаф на бок, ситуация не улучшится. Например, если его "высотой" станет глубина 0,8 м (что проходит в дверь 2,0 м), то его "шириной" и "глубиной" будут 1,0 м и 1,6 м, что не пройдет через ширину двери 0,7 м.

Единственный шанс пронести шкаф — это использовать сложную траекторию, наклоняя его. Наиболее оптимальной стратегией является пронос шкафа так, чтобы его самое длинное измерение было направлено перпендикулярно плоскости двери (то есть вдоль направления движения). В нашем случае мы можем попробовать пронести шкаф так, чтобы его высота 1,6 м была перпендикулярна проему.

Тогда задача сводится к тому, чтобы "профиль" шкафа, представляющий собой прямоугольник размером 1,0 м × 0,8 м (длина × глубина), смог пройти через дверной проем размером 2,0 м × 0,7 м.

3. Геометрический расчет и вывод

Итак, можем ли мы пронести прямоугольник со сторонами $a = 1,0$ м и $b = 0,8$ м через прямоугольное отверстие размером $H = 2,0$ м и $W = 0,7$ м?

Без наклона это сделать нельзя, так как меньшая сторона прямоугольника ($b = 0,8$ м) больше ширины проема ($W = 0,7$ м).

Однако, наклоняя прямоугольник, мы можем "вписать" его по ширине. При этом его вертикальный габарит увеличится. Нам необходимо рассчитать, какой минимальной высоты проем потребуется для такого маневра, и сравнить ее с реальной высотой двери.

Минимальная высота проема ($H_{min}$), необходимая для проноса прямоугольника $a \times b$ через щель шириной $W$ (при условии $W < b$), вычисляется по формуле:

$H_{min} = \frac{aW + b\sqrt{b^2 - W^2}}{b^2}$

Подставим наши значения: $a = 1,0$ м, $b = 0,8$ м, $W = 0,7$ м.

$H_{min} = \frac{1,0 \cdot 0,7 + 0,8\sqrt{0,8^2 - 0,7^2}}{0,8^2} = \frac{0,7 + 0,8\sqrt{0,64 - 0,49}}{0,64} = \frac{0,7 + 0,8\sqrt{0,15}}{0,64}$

Вычислим приближенное значение:

$H_{min} \approx \frac{0,7 + 0,8 \cdot 0,3873}{0,64} \approx \frac{0,7 + 0,3098}{0,64} \approx \frac{1,0098}{0,64} \approx 1,578$ м.

Минимально необходимая высота дверного проема для осуществления такого маневра составляет примерно 1,58 м.

Фактическая высота двери — 2,0 м.

Сравниваем полученный результат с высотой двери: $1,58 \text{ м} < 2,0 \text{ м}$.

Поскольку необходимая для маневра высота меньше, чем высота дверного проема, шкаф можно занести в комнату.

Ответ: Да, возможно занести шкаф в комнату.